Analyse fonctionnelle

Fiches de cours et sous-notions liées à ce chapitre.

Pas assez de questions pour un entraînement ciblé sur cette notion.

Espaces de Banach

Non commencé

Définitions

Espace de Banach = espace vectoriel normé complet (suite Cauchy converge). Exemples : $\mathbb{R}^n$ ( $\|\cdot\|_p$ ), $L^p(\Omega)$ , espaces continus $C(K)$ avec $\|f\|_\infty$ . Théorème de Banach-Steinhaus (principe uniforme boundedness), Banach ouverture, graphe fermé.

Dual $E'$ : formes linéaires continues. Hahn-Banach prolonge formes linéaires. Réflexif si $E \cong E''$ . Théorème de Baire : Banach non union dénombrable fermés d'intérieur vide.

Espace de Banach : EV normé complet. Exemples : $L^p$ , $C(K)$ , $\ell^p$ . Théorèmes : Hahn-Banach, Banach-Steinhaus, application ouverte.

Pourquoi c’est central : cette notion structure les preuves et calculs du programme ; maîtriser définitions et hypothèses évite les applications hors cadre.

Formules

$\|x\| \geq 0,\ \|x\|=0 \Leftrightarrow x=0,\ \|\lambda x\| = |\lambda|\|x\|,\ \|x+y\| \leq \|x\|+\|y\|$
$\text{Complet : Cauchy } \Rightarrow \text{ converge}$
$\|T\| = \sup_{\|x\|=1} \|Tx\| \quad \text{(opérateur borné)}$
$\text{Baire : } E = \bigcup F_n \Rightarrow \exists n,\ \mathring{F_n} \neq \emptyset$

Exemples

Exemple 1

$\mathbb R^n$ avec une norme : Banach ?

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) Oui : dim finie $\Rightarrow$ complet pour toute norme. (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

Banach.

Exemple 2

$(C[0,1],\|\cdot\|_\infty)$ .

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) Complet : limite uniforme de continues = continue. (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

Banach classique.

À retenir

Espaces de Hilbert

Non commencé

Définitions

Espace de Hilbert = Banach dont norme provient produit scalaire $\langle \cdot, \cdot \rangle$ . Identité parallélogramme caractérise Hilbert. Projection sur convexe fermé : unique minimisateur distance. Base hilbertienne $(e_i)$ ON : $x = \sum \langle x, e_i \rangle e_i$ .

Riesz-Fischer : $L^2$ complet. Séparable si base dénombrable. Applications : signal processing, quantique, moindres carrés infinis.

Espace de Hilbert : produit scalaire + complet. Projection orthogonale, Riesz, bases hilbertiennes, Parseval.

$L^2$ prototype ingénieur (signaux d'énergie finie).

Pourquoi c’est central : cette notion structure les preuves et calculs du programme ; maîtriser définitions et hypothèses évite les applications hors cadre.

Formules

$\|x\|^2 = \langle x, x \rangle \quad ; \quad \|x+y\|^2 + \|x-y\|^2 = 2(\|x\|^2 + \|y\|^2)$
$p(x) = \arg\min_{y \in C} \|x - y\| \quad \text{(projection convexe fermé)}$
$x = \sum_{i=1}^\infty \langle x, e_i \rangle e_i \quad \text{(Parseval)}$
$\forall \varphi \in H',\ \exists! y,\ \varphi(x) = \langle x, y \rangle$

Exemples

Exemple 1

Identité du parallélogramme.

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) Caractérise les normes hilbertiennes : $\|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2\|x\|^2+2\|y\|^2$ . (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

Parallélogramme $\Leftrightarrow$ hilbertien.

Exemple 2

Projection sur un SEV fermé.

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) Existence/unicité du projeté ; $x-p(x)\perp F$ . (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

Théorème de projection.

À retenir

Opérateurs

Non commencé

Définitions

Opérateur linéaire borné $T : E \to F$ : $\|T\| = \sup_{\|x\|=1}\|Tx\| < \infty$ . Compact : image boule unité relativement compacte (suite $\|x_n\| \leq 1$ $\Rightarrow$ $Tx_n$ admet sous-suite convergente). Spectre $\sigma(T) = \{\lambda : T-\lambda I \text{ non inversible}\}$ .

Compact : spectre $\subset \mathbb{C}$ compact, $\lambda \neq 0$ vp isolée de multiplicité finie. Auto-adjoint Hilbert : spectre réel, diagonalisable (spectral). Théorème de Fredholm pour $I + K$ , $K$ compact.

Opérateurs bornés $T:E\to F$ , norme $\|T\|$ . Spectre, adjoint, compacts. Valeurs propres / spectre continu.

Diagonalisation spectrale (autoadjoint compact).

Pourquoi c’est central : cette notion structure les preuves et calculs du programme ; maîtriser définitions et hypothèses évite les applications hors cadre.

Formules

$\|T\| = \sup_{x \neq 0} \frac{\|Tx\|}{\|x\|}$
$T \text{ compact } \Leftrightarrow T(B(0,1)) \text{ relativement compact}$
$\sigma(T) \text{ fermé } ; \quad \lambda \in \sigma(T) \Leftrightarrow T-\lambda I \text{ non bijectif}$
$T = T^* \Rightarrow \sigma(T) \subset \mathbb{R}$

Exemples

Exemple 1

Norme d'opérateur.

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) $\|T\|=\sup_{\|x\|\leq 1}\|Tx\|$ ; borné $\Leftrightarrow$ continu linéaire. (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

$\|T\|<\infty$ $\Leftrightarrow$ continu.

Exemple 2

Spectre vs vp.

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) Vp $\Rightarrow$ dans le spectre ; en dim infinie le spectre peut être plus large. (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

Spectre $\supset$ ensemble des vp.