Probabilités avancées

Fiches de cours et sous-notions liées à ce chapitre.

Pas assez de questions pour un entraînement ciblé sur cette notion.

Processus stochastiques

Non commencé

Définitions

Processus stochastique $(X_t)_{t \in T}$ : famille v.a. indexée par temps. Markov : $P(X_{t+1}|X_0,\ldots,X_t) = P(X_{t+1}|X_t)$ . Matrice transition $P_{ij} = P(X_{n+1}=j|X_n=i)$ . Chaîne irréductible, apériodique $\Rightarrow$ loi stationnaire unique $\pi P = \pi$ .

Processus de Poisson : accroissements indépendants Poisson, inter-arrivées exponentielles. Martingales : $E[X_{t+1}|\mathcal{F}_t] = X_t$ .

Processus $(X_t)$ ; Markov ; matrice $P$ ; loi stationnaire $\pi P=\pi$ . Poisson ; martingales.

Pourquoi c’est central : cette notion structure les preuves et calculs du programme ; maîtriser définitions et hypothèses évite les applications hors cadre.

Formules

$P(X_{n+1}=j|X_n=i) = P_{ij} \quad ; \quad P^{(n)} = P^n$
$\pi P = \pi,\ \sum \pi_i = 1$
$N(t) \sim \mathrm{Poisson}(\lambda t) \quad ; \quad T_{k+1}-T_k \sim \mathcal{E}(\lambda)$
$E[M_{n+1}|\mathcal{F}_n] = M_n \quad \text{(martingale)}$

Exemples

Exemple 1

Loi stationnaire.

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) Résoudre $\pi P=\pi$ , $\sum\pi_i=1$ pour chaîne irréductible apériodique. (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

$\pi$ unique dans ce cas.

Exemple 2

Poisson : inter-arrivées.

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) Inter-arrivées i.i.d. $\mathcal E(\lambda)$ ; $N(t)\sim\mathrm{Poisson}(\lambda t)$ . (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

Équivalence Poisson / exponentielles.

À retenir

Mouvement brownien

Non commencé

Définitions

Mouvement brownien standard $(B_t)_{t \geq 0}$ : processus continu, $B_0=0$ , accroissements indépendants stationnaires gaussiens, $B_t - B_s \sim \mathcal{N}(0, t-s)$ . Propriétés : $E[B_t]=0$ , $\mathrm{Var}(B_t)=t$ , trajectoires p.s.

continues mais nulle part dérivables. Multidimensionnel : composantes indépendantes. Réflexion, passage au premier temps, principe réflexion. Modèle limite marche aléatoire (Donsker).

Brownien : $B_0=0$ , accroissements gaussiens indépendants, trajectoires continues nulle part dérivables. $\mathrm{Var}(B_t)=t$ .

Pourquoi c’est central : cette notion structure les preuves et calculs du programme ; maîtriser définitions et hypothèses évite les applications hors cadre.

Formules

$B_0 = 0 \quad ; \quad B_t - B_s \sim \mathcal{N}(0, t-s),\ \text{ indép. des passés}$
$E[B_t] = 0,\ \mathrm{Var}(B_t) = t,\ E[B_t B_s] = \min(t,s)$
$B_t \sim \mathcal{N}(0,t) \quad ; \quad B_t/\sqrt{t} \sim \mathcal{N}(0,1)$
$\text{Scaling : } (cB_{t/c^2})_{t \geq 0} \stackrel{d}{=} (B_t)$

Exemples

Exemple 1

Loi de $B_t$ .

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) $B_t\sim\mathcal N(0,t)$ ; $B_t/\sqrt t\sim\mathcal N(0,1)$ . (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

$\mathcal N(0,t)$ .

Exemple 2

Covariance.

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) $E[B_t B_s]=\min(t,s)$ . (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

$\min(t,s)$ .

À retenir

Calcul stochastique

Non commencé

Définitions

Calcul stochastique : intégrale d'Itô $\int_0^T H_t\,dB_t$ (processus adapté, $E[\int H^2 dt] < \infty$ ), formule d'Itô $df(B_t) = f'(B_t)dB_t + \frac{1}{2}f''(B_t)dt$ . EDS $dX_t = \mu(X_t,t)dt + \sigma(X_t,t)dB_t$ . Lemme d'Itô pour $f(t,X_t)$ .

Formule Feynman-Kac lie EDP parabolique à espérance processus. Girsanov : changement de mesure. Applications finance (options), filtering.

Calcul stochastique : intégrale d'Itô, formule d'Itô, EDS $dX=\mu dt+\sigma dB$ . Différences avec calcul classique ( $dt^2=0$ , $dB^2=dt$ ).

Pourquoi c’est central : cette notion structure les preuves et calculs du programme ; maîtriser définitions et hypothèses évite les applications hors cadre.

Formules

$df(B_t) = f'(B_t)\,dB_t + \frac{1}{2}f''(B_t)\,dt$
$dX_t = \mu\,dt + \sigma\,dB_t$
$\text{Itô : } d(X_t Y_t) = X_t dY_t + Y_t dX_t + d\langle X, Y \rangle_t$
$u(t,x) = E[g(X_T)|X_t=x] \text{ résout } u_t + \frac{1}{2}\sigma^2 u_{xx} + \mu u_x = 0$

Exemples

Exemple 1

Itô pour $f(B_t)$ .

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) $df(B_t)=f'(B_t)dB_t+\frac12 f''(B_t)dt$ . (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

Terme $\frac12 f'' dt$ spécifique à Itô.

Exemple 2

EDS géométrique (idée BS).

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) $dS=\mu S dt+\sigma S dB$ : solution log-normale. (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

Mouvement brownien géométrique.