Équations aux dérivées partielles

Fiches de cours et sous-notions liées à ce chapitre.

Pas assez de questions pour un entraînement ciblé sur cette notion.

Méthodes spectrales

Non commencé

Définitions

Méthodes spectrales approximent solutions par séries de fonctions propres (Fourier, Tchebychev). FFT calcule transformée en $O(n \log n)$ vs $O(n^2)$ DFT naïf. Collocation spectrale : satisfait EDP aux points de Tchebychev.

Convergence exponentielle pour solutions analytiques. Galerkin spectral : projection sur base orthogonale. Applications : turbulence, acoustique, météo (modèles globaux).

Méthodes spectrales : bases propres (Fourier, Laplace, Sturm-Liouville), diagonalisation d'opérateurs, FFT.

Excellente précision pour solutions régulières / géométries simples.

Pourquoi c’est central : cette notion structure les preuves et calculs du programme ; maîtriser définitions et hypothèses évite les applications hors cadre.

Formules

$\hat{f}_k = \int f(x) e^{-2\pi i k x}\,dx \quad ; \quad f(x) = \sum \hat{f}_k e^{2\pi i k x}$
$\text{FFT : } O(n \log n)$
$u_N(x) = \sum_{k=0}^N \hat{u}_k T_k(x) \quad \text{(Tchebychev)}$
$\text{Erreur spectrale : } O(e^{-cN}) \text{ si } u \text{ analytique}$

Exemples

Exemple 1

FFT pour convolution.

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) Théorème : $\widehat{f*g}=\hat f\hat g$ ; coût $O(N\log N)$ via FFT. (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

Convolution rapide par FFT.

Exemple 2

Série de Fourier d'une EDP linéaire.

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) Projeter sur modes propres : EDO découplées en coefficients. (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

Diagonalisation dans la base propre.

À retenir

Problèmes inverses

Non commencé

Définitions

Problème inverse : retrouver paramètres/causes à partir observations (direct : causes $\to$ effets). Souvent ill-posé (Hadamard) : solution instable, non unique. Régularisation Tikhonov : $\min \|Ax - b\|^2 + \lambda\|x\|^2$ .

SVD : solution pseudo-inverse tronque modes bruités ( $\sigma_i < \delta$ ). Tomographie, imagerie médicale, géophysique. Critère discrepancy : $\|Ax_\lambda - b\| \approx \| \mathrm{bruit} \|$ .

Problème inverse : retrouver causes/paramètres à partir d'observations. Souvent mal posé : régulariser (Tikhonov).

Sensibilité aux bruits ; besoin de prior / pénalité.

Pourquoi c’est central : cette notion structure les preuves et calculs du programme ; maîtriser définitions et hypothèses évite les applications hors cadre.

Formules

$Ax = b \quad \text{(direct)} \quad ; \quad x = \arg\min \|Ax-b\|^2 + \lambda\|Lx\|^2 \text{ (Tikhonov)}$
$x_\lambda = \sum_i \frac{\sigma_i}{\sigma_i^2 + \lambda} \langle b, u_i \rangle v_i$
$\kappa(A) \gg 1 \Rightarrow \text{ ill-posé}$
$\|x_\lambda\| \text{ croît quand } \lambda \to 0$

Exemples

Exemple 1

Tikhonov.

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) $\min\|Ax-b\|^2+\lambda\|Lx\|^2$ : stabilise l'inverse. (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

Régularisation de Tikhonov.

Exemple 2

Pourquoi mal posé ?

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) Petites perturbations de $b$ $\Rightarrow$ grandes sur $x$ si $\kappa(A)$ énorme / compact op. (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

Ill-posé $\Rightarrow$ régulariser.