Modélisation

Fiches de cours et sous-notions liées à ce chapitre.

Pas assez de questions pour un entraînement ciblé sur cette notion.

Équations aux dérivées partielles

Non commencé

Définitions

Une EDP relie une fonction inconnue $u(x,t)$ (ou $u(x,y)$ ) à ses dérivées partielles. Classification du second ordre : $\mathcal{L}[u] = a u_{xx} + b u_{xy} + c u_{yy} + \cdots$ ; discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ : elliptique ( $\Delta < 0$ , Laplace), parabolique ( $\Delta = 0$ , chaleur), hyperbolique ( $\Delta > 0$ , ondes).

Conditions aux limites : Dirichlet ( $u|_{\partial\Omega} = g$ ), Neumann ( $\partial u/\partial n|_{\partial\Omega} = h$ ), Robin. Problème bien posé (Hadamard) : existence, unicité, stabilité.

EDP : classification elliptique / parabolique / hyperbolique via $\Delta=b^2-4ac$ . Chaleur, Laplace, ondes.

CL Dirichlet / Neumann / Robin. Problème bien posé (Hadamard).

Pourquoi c’est central : cette notion structure les preuves et calculs du programme ; maîtriser définitions et hypothèses évite les applications hors cadre.

Formules

$\text{Chaleur : } u_t = \alpha \Delta u \quad \text{(parabolique)}$
$\text{Laplace : } \Delta u = 0 \quad \text{(elliptique)}$
$\text{Ondes : } u_{tt} = c^2 \Delta u \quad \text{(hyperbolique)}$
$\Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}$

Exemples

Exemple 1

Type de $u_t=\alpha u_{xx}$ .

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) Parabolique (chaleur). (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

Parabolique.

Exemple 2

Type de $u_{tt}=c^2\Delta u$ .

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) Hyperbolique (ondes). (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

Hyperbolique.

À retenir

Méthodes numériques

Non commencé

Définitions

Discrétisation des EDP : différences finies (DF) sur maillage régulier, éléments finis (EF) sur maillage triangulaire/tétraédrique, volumes finis (conservation locale). DF : $u''(x_i) \approx \frac{u_{i+1} - 2u_i + u_{i-1}}{h^2}$ .

Stabilité CFL pour explicite : $\Delta t \leq C h^2/\alpha$ (chaleur). EF : formulation faible $\int \nabla u \cdot \nabla v = \int fv$ sur espace $V_h$ . Erreur $O(h^p)$ selon ordre éléments. Maillage adaptatif raffine zones de forte variation.

Discrétisation : DF, EF, VF. Schéma $u''\approx(u_{i+1}-2u_i+u_{i-1})/h^2$ . CFL explicite chaleur : $\Delta t\leq h^2/(2\alpha)$ .

EF : formulation faible. Erreur $O(h^p)$ .

Pourquoi c’est central : cette notion structure les preuves et calculs du programme ; maîtriser définitions et hypothèses évite les applications hors cadre.

Formules

$u''(x_i) \approx \frac{u_{i+1} - 2u_i + u_{i-1}}{h^2} + O(h^2)$
$u_t^n \approx \frac{u^{n+1} - u^n}{\Delta t}$
$\text{CFL chaleur 1D : } \Delta t \leq \frac{h^2}{2\alpha}$
$\text{EF : trouver } u_h \in V_h,\ a(u_h, v_h) = \ell(v_h)\ \forall v_h \in V_h$

Exemples

Exemple 1

Condition CFL pour le schéma explicite de la chaleur 1D.

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) Stabilité : $\Delta t \leq \frac{h^2}{2\alpha}$ . Si $h=10^{-2}$ et $\alpha=10^{-5}$ , alors $\Delta t\leq 5$ . (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

$\Delta t \leq h^2/(2\alpha)$ (ex. $\Delta t\leq 5$ s pour ces valeurs).

Exemple 2

Ordre DF centrée ordre 2.

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) Erreur de consistance $O(h^2)$ pour $u''$ . (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

Consistance $O(h^2)$ .