Probabilités avancées

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Pas assez de questions pour un entraînement ciblé sur cette notion.

Variables aléatoires

Non commencé

Définitions

Une variable aléatoire (v.a.) $X$ sur $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ est mesurable ; caractérisée par sa loi, sa fonction de répartition $F_X(x) = P(X \leq x)$ , ou sa densité $f_X$ . Espérance $E[X]$ , variance $\mathrm{Var}(X) = E[(X-E[X])^2]$ .

Lois usuelles ingénieur : Bernoulli, binomiale, Poisson (événements rares, $\lambda \approx np$ ), uniforme, exponentielle (durées sans mémoire), normale (TCL). Processus : famille $(X_t)_{t \in T}$ . Martingale : $E[X_{t+1} | \mathcal{F}_t] = X_t$ . Filtration $\mathcal{F}_t$ modélise l'information disponible.

Variable aléatoire : loi via $F_X$ ou densité. Espérance, variance. Lois ingénieur : Bernoulli, binomiale, Poisson, uniforme, exponentielle, normale.

Processus $(X_t)$ ; martingale $E[X_{t+1}|\mathcal F_t]=X_t$ .

Formules

$E[X] = \int_\Omega X\,dP \quad ; \quad \mathrm{Var}(X) = E[X^2] - E[X]^2$
$\mathcal{P}(\lambda) : P(X=k) = e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!},\ E[X] = \mathrm{Var}(X) = \lambda$
$\mathcal{E}(\lambda) : f(x) = \lambda e^{-\lambda x}\mathbf{1}_{x \geq 0},\ E = 1/\lambda$
$E[X | \mathcal{F}] \text{ : v.a. } \mathcal{F}\text{-mesurable, meilleure prédiction L}^2$

Exemples

Exemple 1

Poisson $\lambda=0{,}5$ : $P(N=0)$ .

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) $P(N=0)=e^{-\lambda}=e^{-0{,}5}\approx 0{,}607$ . (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

$e^{-0{,}5}\approx 0{,}61$ .

Exemple 2

Exponentielle : propriété sans mémoire.

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) $P(T>t+s|T>t)=P(T>s)$ ; MTBF $=1/\lambda$ . (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

Sans mémoire ; $E[T]=1/\lambda$ .

À retenir

Convergences

Non commencé

Définitions

Pour $(X_n)$ v.a., on distingue convergences : presque sûre (p.s.) $X_n \to X$ p.s. ; en probabilité $P(|X_n - X| > \varepsilon) \to 0$ ; en loi $F_{X_n} \to F_X$ ; $L^p$ : $E[|X_n - X|^p] \to 0$ . Implications : p.s. $\Rightarrow$ proba $\Rightarrow$ loi ; $L^2$ $\Rightarrow$ proba.

Théorèmes limites : LFGN ( $\bar{X}_n \to \mu$ ), TCL ( $\frac{\sqrt{n}(\bar{X}_n - \mu)}{\sigma} \to \mathcal{N}(0,1)$ ), convergence monotone, convergence dominée (Lebesgue). En ingénierie, choisir la convergence adaptée au critère (presque sûr pour trajectoires, en loi pour quantiles).

Convergences : p.s., proba, loi, $L^p$ . Implications : $L^2\Rightarrow$ proba $\Rightarrow$ loi ; p.s. $\Rightarrow$ proba.

LFGN, TCL. Monte Carlo : erreur $O(1/\sqrt N)$ .

Formules

$X_n \xrightarrow{L^2} X \Rightarrow X_n \xrightarrow{P} X \Rightarrow X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} X$
$\bar{X}_n \xrightarrow{P} \mu \quad \text{(LFGN)}$
$\frac{\sqrt{n}(\bar{X}_n - \mu)}{\sigma} \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0,1) \quad \text{(TCL)}$
$E[\lim X_n] = \lim E[X_n] \text{ si } X_n \nearrow, X_n \geq 0 \text{ (monotone)}$

Exemples

Exemple 1

IC approximatif 95% pour une moyenne.

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) TCL : $\bar X\pm 1{,}96\,\sigma/\sqrt n$ . (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

Intervalle $\pm 1{,}96\sigma/\sqrt n$ .

Exemple 2

Erreur Monte Carlo.

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) Écart-type de la moyenne empirique $\sim\sigma/\sqrt N$ , indépendant de la dimension. (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

Erreur typique $O(1/\sqrt N)$ .

À retenir

Conditionnement

Non commencé

Définitions

L'espérance conditionnelle $E[X | \mathcal{F}]$ est la v.a. $\mathcal{F}$ -mesurable minimisant $E[(X - Y)^2]$ sur les $Y$ $\mathcal{F}$ -mesurables. Formule des probabilités totales : $E[X] = E[E[X | \mathcal{F}]]$ . Variance totale : $\mathrm{Var}(X) = E[\mathrm{Var}(X|Y)] + \mathrm{Var}(E[X|Y])$ .

Le conditionnement filtre l'incertitude : prédiction bayésienne, filtre de Kalman (conditionnement gaussien). Chaîne de Markov : $P(X_{n+1}|X_0,\ldots,X_n) = P(X_{n+1}|X_n)$ .

Espérance conditionnelle $E[X|\mathcal F]$ : meilleure prédiction $L^2$ $\mathcal F$ -mesurable. Tower property. Variance totale.

Markov : futur $\perp$ passé | présent. Filtre de Kalman (gaussien).

Pourquoi c’est central : cette notion structure les preuves et calculs du programme ; maîtriser définitions et hypothèses évite les applications hors cadre.

Formules

$E[X] = E[E[X | \mathcal{F}]] \quad \text{(tower property)}$
$\mathrm{Var}(X) = E[\mathrm{Var}(X|Y)] + \mathrm{Var}(E[X|Y])$
$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \quad ; \quad E[X|Y=y] = \int x f_{X|Y}(x|y)\,dx$
$\text{Kalman : } \hat{x}_{k|k} = \hat{x}_{k|k-1} + K_k(z_k - H\hat{x}_{k|k-1})$

Exemples

Exemple 1

Formule de variance totale.

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) $\mathrm{Var}(X)=E[\mathrm{Var}(X|Y)]+\mathrm{Var}(E[X|Y])$ (ANOVA). (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

Var totale = intra + inter.

Exemple 2

Kalman : mise à jour.

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) $\hat x_{k|k}=\hat x_{k|k-1}+K_k(z_k-H\hat x_{k|k-1})$ : mélange prédiction/mesure. (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

Gain $K_k$ pondère l'innovation.