Équations différentielles

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Pas assez de questions pour un entraînement ciblé sur cette notion.

EDO linéaires

Non commencé

Définitions

Une EDO linéaire scalaire d'ordre $n$ s'écrit $a_n(x)y^{(n)} + \cdots + a_0(x)y = g(x)$ . L'espace des solutions de l'homogène est de dimension $n$ . Pour coefficients constants : l'équation caractéristique $a_n r^n + \cdots + a_0 = 0$ donne les solutions $e^{rx}$ (racines simples) ou $x^k e^{rx}$ (racines multiples).

Second ordre : $y'' + ay' + by = 0$ — discriminant $\Delta = a^2 - 4b$ détermine exponentielles réelles, amorties ou oscillatoires ( $\Delta < 0$ ). Wronskien $W(y_1,y_2) = y_1 y_2' - y_1' y_2$ : soit toujours nul, soit jamais nul. Variation de la constante et méthode du second membre pour l'inhomogène.

EDO linéaire d'ordre $n$ : espace des solutions homogènes de dim $n$ . Coefficients constants : équation caractéristique. Second ordre : $\Delta=a^2-4b$ donne modes réels / oscillants.

Wronskien, variation de la constante, second membre. Modèles : RLC, amortisseur.

Formules

$y'' + ay' + by = 0 \Rightarrow r^2 + ar + b = 0$
$\Delta > 0 : y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x} \quad ; \quad \Delta < 0 : y = e^{-\alpha x}(A\cos\omega x + B\sin\omega x)$
$y'' + \omega^2 y = 0 \Rightarrow y = A\cos(\omega x) + B\sin(\omega x)$
$W(y_1, y_2) \neq 0 \Leftrightarrow (y_1, y_2) \text{ libre}$

Exemples

Exemple 1

Résoudre $y''+\omega^2 y=0$ .

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) Caractéristique $r^2+\omega^2=0$ : $r=\pm i\omega$ . Solution $A\cos(\omega x)+B\sin(\omega x)$ . (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

$y=A\cos(\omega x)+B\sin(\omega x)$ .

Exemple 2

Oscillateur $my''+cy'+ky=0$ : régimes selon $\Delta=c^2-4mk$ .

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) $\Delta>0$ sur-amorti, $\Delta=0$ critique, $\Delta<0$ sous-amorti (pseudo-périodique). (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

Trois régimes selon le signe de $\Delta$ .

À retenir

Stabilité

Non commencé

Définitions

Pour un système autonome $\dot{x} = f(x)$ , un point d'équilibre $x^*$ ( $f(x^*)=0$ ) est stable (Lyapunov) si les trajectoires restent proches pour des conditions initiales proches. Asymptotiquement stable si de plus $x(t) \to x^*$ .

Linéarisation : $A = Df(x^*)$ ; si toutes les valeurs propres de $A$ ont partie réelle $< 0$ , équilibre asymptotiquement stable (Lyapunov indirect). Valeur propre à partie réelle $> 0$ $\Rightarrow$ instable. Critère de Routh-Hurwitz pour polynômes caractéristiques. Stabilité structurelle et bifurcations (saddle-node, Hopf).

Équilibre $x^*$ de $\dot x=f(x)$ : stable (Lyapunov) / asymptotiquement stable. Linéarisation $A=Df(x^*)$ : $\Re(\lambda_i)<0$ $\Rightarrow$ AS.

Lyapunov direct : $V>0$ , $\dot V<0$ . Bifurcations (Hopf, saddle-node).

Formules

$\dot{x} = Ax \text{ stable } \Leftrightarrow \Re(\lambda_i) < 0 \text{ pour toutes vp } \lambda_i$
$V(x) > 0,\ \dot{V} < 0 \Rightarrow \text{ stable (Lyapunov direct)}$
$\text{Routh : critères sur coefficients de } \chi(\lambda) = \det(\lambda I - A)$
$\text{Hopf : paire vp imaginaire pure } \Rightarrow \text{ cycle limite}$

Exemples

Exemple 1

Stabilité de $\dot x=-x^3$ en $0$ .

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) Linéaire : $A=0$ (non concluant). $V=x^2/2$ : $\dot V=-x^4<0$ pour $x\neq 0$ : AS. (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

Asymptotiquement stable (Lyapunov).

Exemple 2

Système linéaire $\dot x=Ax$ : critère spectral.

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) AS $\Leftrightarrow$ toutes les vp vérifient $\Re(\lambda)<0$ . Une vp à $\Re>0$ $\Rightarrow$ instable. (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

AS ssi spectre dans le demi-plan gauche ouvert.

À retenir

Systèmes

Non commencé

Définitions

Un système linéaire $\dot{x} = Ax + Bu$ , $y = Cx + Du$ ( $x \in \mathbb{R}^n$ ) modélise circuits, mécanique multi-degrés, chaînes de Markov continues. La matrice compagnon transforme une EDO scalaire d'ordre $n$ en système du premier ordre.

Solution : $x(t) = e^{At}x_0 + \int_0^t e^{A(t-s)}Bu(s)\,ds$ . Exponentielle matricielle $e^{At} = \sum \frac{(At)^k}{k!}$ ; si $A$ diagonalisable, $e^{At} = Pe^{\Lambda t}P^{-1}$ . Contrôlabilité (Kalman) : rang $[B, AB, \ldots, A^{n-1}B] = n$ . Observabilité : rang $[C^T, A^TC^T, \ldots]$ .

Système linéaire $\dot x=Ax+Bu$ , $y=Cx+Du$ . Solution $x(t)=e^{At}x_0+\int e^{A(t-s)}Bu(s)\,ds$ .

Contrôlabilité Kalman : $\mathrm{rg}[B,AB,\ldots,A^{n-1}B]=n$ . Observabilité duale.

Formules

$\dot{x} = Ax + Bu \quad ; \quad x(t) = e^{At}x_0$
$\det(\lambda I - A) = 0 \Rightarrow \text{ modes propres } e^{\lambda_i t}$
$e^{At} = \mathcal{L}^{-1}\{(sI-A)^{-1}\}$
$\text{Contrôlabilité : } \mathrm{rg}\,\mathcal{C} = n,\ \mathcal{C} = [B\ AB\ \cdots\ A^{n-1}B]$

Exemples

Exemple 1

Double intégrateur $\ddot x=u$ : matrices $A$ , $B$ .

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) État $(x,\dot x)$ : $A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ , $B=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$ . (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

Forme compagnon standard.

Exemple 2

Stabilité du système libre $\dot x=Ax$ .

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) AS $\Leftrightarrow$ vp de $A$ à partie réelle $<0$ $\Leftrightarrow$ $e^{At}\to 0$ . (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

Spectre de $A$ dans $\{\Re<0\}$ .