Analyse complexe

Fiches de cours et sous-notions liées à ce chapitre.

Pas assez de questions pour un entraînement ciblé sur cette notion.

Holomorphie

Non commencé

Définitions

Une fonction $f : U \subset \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ ( $U$ ouvert) est holomorphe en $z_0$ si la limite $\lim_{h \to 0} \frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}$ existe (dérivée complexe). Elle est holomorphe sur $U$ si holomorphe en tout point.

Équivalent : $f$ est $\mathbb{C}$ -dérivable et continue. Les conditions de Cauchy-Riemann ( $\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$ , $\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$ pour $f = u+iv$ ) caractérisent l'holomorphie. Théorèmes clés : Cauchy (intégrale sur contour fermé nul), Cauchy-Goursat, formule intégrale de Cauchy, principe du maximum ( $|f|$ atteint son max sur le bord). Une holomorphe non constante sur un ouvert connexe n'a pas de maximum local.

Une fonction $f:U\subset\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ est holomorphe en $z_0$ si la dérivée complexe $\lim_{h\to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}$ existe. Équivalent : conditions de Cauchy-Riemann sur $f=u+iv$ .

Théorèmes clés : Cauchy (intégrale sur contour fermé), formule intégrale, principe du maximum, Liouville.

Formules

$f'(z_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}$
$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y},\ \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$
$f(z) = \frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma \frac{f(\zeta)}{\zeta - z}\,d\zeta \quad (z \in \mathrm{Int}\,\gamma)$
$\text{Liouville : } f \text{ holomorphe bornée sur } \mathbb{C} \Rightarrow f \text{ constante}$

Exemples

Exemple 1

Holomorphie de $e^z$ et de $\bar z$ .

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) $e^z$ est entière (série entière partout). Pour $\bar z=x-iy$ : $\partial u/\partial x=1\neq 0=\partial v/\partial y$ : pas holomorphe. (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

$e^z$ holomorphe sur $\mathbb{C}$ ; $\bar z$ nulle part.

Exemple 2

Calculer $\oint_{|z|=1}\frac{1}{z}\,dz$ .

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) Formule de Cauchy / paramétrisation $z=e^{i\theta}$ : intégrale $=2\pi i$ . (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

$2\pi i$ .

À retenir

Séries de Laurent

Non commencé

Définitions

Autour d'une singularité isolée $z_0$ , une fonction holomorphe sur un voisinage épointé admet un développement en série de Laurent $f(z) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n (z-z_0)^n$ . La partie régulière ( $n \geq 0$ ) converge ; la partie principale ( $n < 0$ ) capture la singularité.

Singularité removable : un seul terme $n=-1$ absent, prolongeable. Pôle d'ordre $m$ : $a_{-m} \neq 0$ , fini de termes négatifs. Singularité essentielle (Casorati-Weierstrass) : infinité de termes $n < 0$ . Le rayon intérieur/extérieur de convergence délimite l'anneau. Ordre de grandeur : partie principale dominante près de $z_0$ .

Autour d'une singularité isolée : série de Laurent $f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n$ . Classification : amovible, pôle d'ordre $m$ , essentielle.

La partie principale ( $n<0$ ) capture la singularité ; utile en transformée $Z$ / réponse impulsionnelle.

Formules

$f(z) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n (z-z_0)^n,\quad a_n = \frac{1}{2\pi i} \oint \frac{f(\zeta)}{(\zeta-z_0)^{n+1}}\,d\zeta$
$\text{Pôle ordre } m \Leftrightarrow a_{-m} \neq 0,\ a_{-m-1} = \cdots = 0$
$\text{Essentielle } \Leftrightarrow \text{ infinité de } a_n \neq 0 \text{ pour } n < 0$
$f(z) = \frac{1}{z(z-1)} = \frac{1}{z-1} - \frac{1}{z} \text{ sur } 0 < |z| < 1$

Exemples

Exemple 1

Singularité de $e^{1/z}$ en $0$ .

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) Laurent : $\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n! z^n}$ : infinité de termes négatifs $\Rightarrow$ essentielle. (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

Singularité essentielle en $0$ .

Exemple 2

Développer $\frac{1}{z(z-1)}$ pour $0<|z|<1$ .

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) Décomposition : $\frac{1}{z-1}-\frac{1}{z}$ ; sur l'anneau, développer $1/(z-1)$ en série de $z$ . (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

Laurent avec pôle simple en $0$ (terme $-1/z$ ).

À retenir

Résidus

Non commencé

Définitions

Le résidu $\mathrm{Res}(f, z_0)$ d'une fonction holomorphe sauf en $z_0$ est le coefficient $a_{-1}$ de la série de Laurent. Théorème des résidus : $\oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum \mathrm{Res}(f, z_k)$ pour les singularités $z_k$ intérieures au contour simple positif $\gamma$ .

Méthodes de calcul : série de Laurent, formule $\mathrm{Res}(f,z_0) = \lim_{z \to z_0} (z-z_0)f(z)$ pour pôle simple, formule générale pour pôle d'ordre $m$ . Application majeure : calcul d'intégrales réelles via contours fermés dans $\mathbb{C}$ .

Le résidu $\mathrm{Res}(f,z_0)=a_{-1}$ . Théorème des résidus : $\oint_\gamma f=2\pi i\sum\mathrm{Res}$ . Calcul : limite pour pôle simple, ou $g/h'$ si zéro simple de $h$ .

Application : intégrales réelles et inversion de Laplace (Bromwich).

Formules

$\mathrm{Res}(f, z_0) = a_{-1} = \frac{1}{2\pi i} \oint_{|z-z_0|=\varepsilon} f(z)\,dz$
$\oint_\gamma f = 2\pi i \sum_{z_k \in \mathrm{Int}\,\gamma} \mathrm{Res}(f, z_k)$
$\text{Pôle simple : } \mathrm{Res}(f, z_0) = \lim_{z \to z_0} (z-z_0)f(z)$
$\mathrm{Res}\left(\frac{g}{h}, z_0\right) = \frac{g(z_0)}{h'(z_0)} \text{ si } h(z_0)=0, h'(z_0) \neq 0$

Exemples

Exemple 1

Calculer $\mathrm{Res}(1/z,0)$ et $\oint_{|z|=1}\frac{1}{z}\,dz$ .

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) Coefficient $a_{-1}$ de $1/z$ vaut $1$ . Théorème des résidus : intégrale $=2\pi i\cdot 1$ . (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

$\mathrm{Res}=1$ , $\oint=2\pi i$ .

Exemple 2

Pôle simple : $\mathrm{Res}(g/h,z_0)=g(z_0)/h'(z_0)$ .

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) Si $h(z_0)=0$ , $h'(z_0)\neq 0$ , $g(z_0)\neq 0$ : formule directe sans Laurent complet. (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

$\mathrm{Res}=g(z_0)/h'(z_0)$ .