Algèbre linéaire

Fiches de cours et sous-notions liées à ce chapitre.

Pas assez de questions pour un entraînement ciblé sur cette notion.

Réduction

Non commencé

Définitions

Soit $u \in \mathcal{L}(E)$ , $E$ de dimension finie. Un scalaire $\lambda$ est valeur propre s'il existe $v \neq 0$ avec $u(v) = \lambda v$ ; $v$ est un vecteur propre. L'espace propre $E_\lambda = \ker(u - \lambda \mathrm{Id})$ est un SEV.

$u$ est diagonalisable s'il existe une base de vecteurs propres, i.e. $\dim E = \sum \dim E_{\lambda_i}$ (somme directe des espaces propres). Critères : $n$ valeurs propres distinctes $\Rightarrow$ diagonalisable ; polynôme caractéristique scindé à racines simples $\Rightarrow$ diagonalisable. Le polynôme caractéristique $\chi_u(X) = \det(X\mathrm{Id} - u)$ est de degré $n$ ; ses racines sont les valeurs propres.

$\lambda$ valeur propre, $v\neq 0$ vecteur propre si $u(v)=\lambda v$ . Espace propre $E_\lambda=\ker(u-\lambda\mathrm{Id})$ .

Diagonalisable si $E=\bigoplus E_{\lambda_i}$ . $\chi_u(X)=\det(X\mathrm{Id}-u)$ . $n$ vp distinctes $\Rightarrow$ diagonalisable.

Formules

$u(v) = \lambda v,\ v \neq 0 \Rightarrow \lambda \text{ vp, } v \text{ vp}$
$\chi_u(X) = \det(X\mathrm{Id} - u)$
$u \text{ diagonalisable } \Leftrightarrow E = \bigoplus E_{\lambda_i}$
$\text{vp distinctes } \Rightarrow \text{ diagonalisable}$

Exemples

Exemple 1

Matrice $\mathrm{diag}(2,3)$ : diagonalisable ?

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) Déjà diagonale, vp $2$ et $3$ . (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

Oui, diagonale.

Exemple 2

$A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ : diagonalisable ?

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) Vp double $1$ , $\dim E_1=1<2$ : non diagonalisable. (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

Non diagonalisable.

À retenir

Polynômes d'endomorphismes

Non commencé

Définitions

Le polynôme minimal $\mu_u$ est le polynôme unitaire de plus petit degré tel que $\mu_u(u) = 0$ . Il divise tout polynôme annulateur, en particulier $\chi_u$ . Théorème de Cayley-Hamilton : $\chi_u(u) = 0$ . Les valeurs propres de $u$ sont racines de $\mu_u$ et de $\chi_u$ .

Si $u$ diagonalisable et $P(u)=0$ , les vp de $u$ sont parmi les racines de $P$ . Le polynôme annulateur permet d'exprimer $u^n$ en fonction de $1, u, \ldots, u^{d-1}$ où $d = \deg \mu_u$ .

Le polynôme minimal $\mu_u$ est le polynôme unitaire de plus petit degré annulant $u$ . Il divise $\chi_u$ . Cayley-Hamilton : $\chi_u(u)=0$ .

Les vp sont racines de $\mu_u$ et $\chi_u$ . Utile pour calculer $u^n$ .

Pourquoi c’est central : cette notion structure les preuves et calculs du programme ; maîtriser définitions et hypothèses évite les applications hors cadre.

Formules

$\mu_u(u) = 0 \quad ; \quad \deg \mu_u \leq \dim E$
$\chi_u(u) = 0 \quad \text{(Cayley-Hamilton)}$
$\mu_u \mid \chi_u$
$P(u) = 0 \Rightarrow \text{vp}(u) \subset \text{racines de } P$

Exemples

Exemple 1

Polynôme minimal de $\lambda\mathrm{Id}$ .

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) $\mu = X-\lambda = \chi$ . (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

$\mu_u=X-\lambda$ .

Exemple 2

Nilpotente $N\neq 0$ , $N^2=0$ : $\mu_N$ ?

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) $N\neq 0$ donc $\deg\mu\geq 2$ ; $N^2=0$ $\Rightarrow$ $\mu_N=X^2$ . (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

$\mu_N=X^2$ .

À retenir

Dunford

Non commencé

Définitions

Sur $\mathbb{C}$ , tout endomorphisme $u$ admet une décomposition de Dunford : $u = d + n$ avec $d$ diagonalisable, $n$ nilpotente, et $dn = nd$ (commutent). Unicité à conjugaison près. Si $u$ diagonalisable, $n=0$ . Si $u$ nilpotente, $d=0$ .

La décomposition permet de calculer $e^u$ , $\ln u$ (si inversible), et d'étudier les suites $u^k$ . En pratique, on utilise la forme de Jordan (admise) sur $\mathbb{C}$ : matrice triangulaire supérieure par blocs de Jordan.

Dunford (sur $\mathbb{C}$ ) : $u=d+n$ avec $d$ diagonalisable, $n$ nilpotente, $dn=nd$ . Permet $e^u=e^d e^n$ .

Forme de Jordan : blocs triangulaires. Si $u$ diagonalisable, $n=0$ .

Pourquoi c’est central : cette notion structure les preuves et calculs du programme ; maîtriser définitions et hypothèses évite les applications hors cadre.

Formules

$u = d + n \quad d \text{ diag., } n \text{ nilp., } dn = nd$
$\text{Unicité si } \mathbb{K} = \mathbb{C}$
$e^u = e^d e^n \quad \text{(car } dn = nd\text{)}$
$J(\lambda) = \begin{pmatrix} \lambda & 1 \\ & \lambda & \ddots \end{pmatrix} \quad \text{(bloc de Jordan)}$

Exemples

Exemple 1

Décomposer $A=\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}$ .

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) $d=2I$ , $n=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ , $n^2=0$ , $dn=nd$ . (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

$A=d+n$ Dunford.

Exemple 2

Si $u$ diagonalisable, que vaut $n$ ?

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) Par unicité, $n=0$ et $u=d$ . (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

$n=0$ .