Topologie de R

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Pas assez de questions pour un entraînement ciblé sur cette notion.

Ouverts, fermés

Non commencé

Définitions

Dans un espace métrique $(E,d)$ , une boule ouverte $B(a,r) = \{x : d(x,a) < r\}$ . Un ouvert est une partie $U$ telle que tout point de $U$ possède une boule ouverte incluse dans $U$ . Un fermé est le complémentaire d'un ouvert, ou équivalent : contient toutes ses valeurs d'adhérence.

Sur $\mathbb{R}$ : les intervalles ouverts $]a,b[$ sont ouverts ; les intervalles fermés $[a,b]$ sont fermés. Propriétés : union quelconque d'ouverts = ouvert ; intersection finie d'ouverts = ouvert ; intersection de fermés = fermé.

Dans un espace métrique, un ouvert contient une boule autour de chaque point ; un fermé est le complémentaire d'un ouvert (ou contient ses points d'adhérence).

Union quelconque d'ouverts = ouvert ; intersection finie d'ouverts = ouvert.

Formules

$B(a,r) = \{x \in E : d(x,a) < r\}$
$U \text{ ouvert } \Leftrightarrow \forall x \in U, \exists r > 0, B(x,r) \subset U$
$F \text{ fermé } \Leftrightarrow F = \overline{F} \Leftrightarrow E \setminus F \text{ ouvert}$
$\bigcup_{i \in I} U_i \text{ ouvert } \quad ; \quad \bigcap_{k=1}^{n} U_k \text{ ouvert}$

Exemples

Exemple 1

$[0,1]$ et $]0,1[$ dans $\mathbb{R}$ .

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) $[0,1]$ contient sa frontière : fermé. $]0,1[$ est réunion de boules : ouvert. (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

$[0,1]$ fermé ; $]0,1[$ ouvert.

Exemple 2

$\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$ : ouvert ? fermé ?

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) Tout intervalle contient irrationnels et rationnels : ni ouvert ni fermé. (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

Ni ouvert ni fermé.

À retenir

Boules

Non commencé

Définitions

Dans $(\mathbb{R}^n, \|\cdot\|)$ , la boule ouverte de centre $a$ et rayon $r$ est $B(a,r) = \{x : \|x-a\|< r\}$ ; la boule fermée $\bar{B}(a,r) = \{x : \|x-a\| \leq r\}$ . Sur $\mathbb{R}$ , $B(a,r) = ]a-r, a+r[$ . La norme euclidienne $\|(x_1,\ldots,x_n)\| = \sqrt{\sum x_i^2}$ .

Équivalence des normes en dimension finie : pour deux normes $\|\cdot\|$ , $\exists c,C > 0$ telles que $c\|x\| \leq \|x\|' \leq C\|x\|$ . La topologie induite par toute norme est la même en dimension finie.

Boule ouverte $B(a,r)=\{x:\|x-a\|<r\}$ , fermée $\bar B(a,r)$ . Sur $\mathbb{R}$ : $]a-r,a+r[$ .

En dimension finie, toutes les normes sont équivalentes : même topologie.

Pourquoi c’est central : cette notion structure les preuves et calculs du programme ; maîtriser définitions et hypothèses évite les applications hors cadre.

Formules

$B(a,r) = \{x \in \mathbb{R}^n : \|x-a\| < r\}$
$\bar{B}(a,r) = \{x : \|x-a\| \leq r\}$
$\|x\|_2 = \sqrt{x_1^2 + \cdots + x_n^2}$
$B_2(0,1) \text{ dans } \mathbb{R}^2 = \{(x,y) : x^2+y^2 < 1\}$

Exemples

Exemple 1

Boule unité ouverte de $\mathbb{R}$ .

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) $B(0,1)=]-1,1[$ . (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

$]-1,1[$ .

Exemple 2

Boule unité euclidienne de $\mathbb{R}^2$ .

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) $\{(x,y):x^2+y^2<1\}$ : disque ouvert. (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

Disque ouvert de rayon $1$ .

À retenir

Compacité

Non commencé

Définitions

Un compact de $\mathbb{R}^n$ est une partie fermée et bornée (Heine-Borel). Sur $\mathbb{R}$ : $K$ compact $\Leftrightarrow$ $K$ fermé et borné. Propriétés des compacts : image continue d'un compact = compact ; toute suite de points d'un compact admet une sous-suite convergente vers un point du compact (Bolzano-Weierstrass).

Théorème des extrema : $f$ continue sur un compact $K$ atteint son maximum et son minimum. Le produit de compacts est compact (Tychonoff fini). En MP, la compacité séquentielle coïncide avec fermé borné en dimension finie.

Dans $\mathbb{R}^n$ , compact $\Leftrightarrow$ fermé et borné (Heine-Borel). Image continue d'un compact = compact. Extrema : $f$ continue sur compact atteint min et max.

Bolzano-Weierstrass : toute suite d'un compact a une sous-suite convergente dans le compact.

Formules

$K \subset \mathbb{R}^n \text{ compact } \Leftrightarrow K \text{ fermé et borné}$
$f : K \to \mathbb{R} \text{ continue, } K \text{ compact } \Rightarrow f(K) \text{ compact}$
$\text{Extrema : } \exists x_m, x_M \in K, f(x_m) = \min f, f(x_M) = \max f$
$\text{Suite dans compact } \Rightarrow \text{ sous-suite convergente}$

Exemples

Exemple 1

$[0,1]$ compact ? $]0,1[$ ?

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) $[0,1]$ fermé borné : compact. $]0,1[$ non fermé : non compact. (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

$[0,1]$ oui ; $]0,1[$ non.

Exemple 2

Disque fermé $x^2+y^2\leq 1$ dans $\mathbb{R}^2$ .

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) Fermé et borné $\Rightarrow$ compact. (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

Compact.