Suites et séries

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Pas assez de questions pour un entraînement ciblé sur cette notion.

Séries numériques

Non commencé

Définitions

Une série numérique est la suite des sommes partielles $S_n = \sum_{k=0}^{n} u_k$ associée à la suite $(u_k)$ . On dit que $\sum u_n$ converge si $(S_n)$ converge ; sa somme est $\lim S_n$ . Critères fondamentaux : nécessaire $u_n \to 0$ (non suffisant : série harmonique), comparaison, critère de d'Alembert ( $\frac{u_{n+1}}{u_n} \to \ell$ : converge si $\ell < 1$ , diverge si $\ell > 1$ ), critère de Cauchy pour les séries.

Une série alternée $\sum (-1)^n a_n$ avec $a_n \searrow 0$ converge (Leibniz).

Une série $\sum u_n$ converge si les sommes partielles $S_n=\sum_{k=0}^n u_k$ convergent. Condition nécessaire : $u_n\to 0$ (non suffisante : harmonique).

Critères : comparaison, d'Alembert, Leibniz (alternées $a_n\searrow 0$ ).

Formules

$S_n = \sum_{k=0}^{n} u_k \quad ; \quad \sum u_n \text{ converge } \Leftrightarrow (S_n) \text{ converge}$
$u_n \not\to 0 \Rightarrow \sum u_n \text{ diverge}$
$\text{d'Alembert : } \frac{u_{n+1}}{u_n} \to \ell \Rightarrow \begin{cases} \text{CV si } \ell < 1 \\ \text{DIV si } \ell > 1 \end{cases}$
$\sum (-1)^n a_n \text{ CV si } a_n \searrow 0$

Exemples

Exemple 1

Nature de $\sum\frac{1}{n}$ .

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) Série harmonique : $\sum_{k=n}^{2n}\frac{1}{k}\geq\frac{1}{2}$ ; les sommes partielles ne sont pas de Cauchy. (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

Diverge.

Exemple 2

Nature de $\sum\frac{(-1)^n}{n}$ .

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) Critère de Leibniz : $a_n=\frac{1}{n}\searrow 0$ : convergence (semi-convergente). (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

Converge (Leibniz).

À retenir

Convergence absolue

Non commencé

Définitions

La série $\sum u_n$ est absolument convergente si $\sum |u_n|$ converge. Convergence absolue $\Rightarrow$ convergence (simple). Si $\sum |u_n|$ diverge mais $\sum u_n$ converge, la série est semi-convergente. Théorème : toute série absolument convergente converge.

On peut réarranger les termes d'une série absolument convergente sans changer la somme (Riemann). Critère de comparaison : si $0 \leq u_n \leq v_n$ et $\sum v_n$ CV, alors $\sum u_n$ CV. Critère d'équivalence : si $u_n \sim v_n$ et $u_n, v_n$ de signe constant, les séries ont même nature.

Convergence absolue : $\sum|u_n|$ CV $\Rightarrow$ $\sum u_n$ CV. Semi-convergence : CV mais pas absolument.

Comparaison positive, équivalents de signe constant : même nature.

Formules

$\sum |u_n| \text{ CV } \Rightarrow \sum u_n \text{ CV (absolue)}$
$|u_n| \leq v_n,\ \sum v_n \text{ CV } \Rightarrow \sum u_n \text{ CV}$
$u_n \sim v_n \text{ (signe constant) } \Rightarrow \sum u_n \text{ et } \sum v_n \text{ même nature}$
$\text{Semi-convergente : CV mais } \sum |u_n| \text{ DIV}$

Exemples

Exemple 1

Nature de $\sum\frac{(-1)^n}{n^2}$ .

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) $\sum\frac{1}{n^2}$ CV (Riemann $\alpha=2>1$ ) $\Rightarrow$ convergence absolue. (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

Absolument convergente.

Exemple 2

Nature de $\sum\frac{\sin n}{n^2}$ .

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) $|\frac{\sin n}{n^2}|\leq\frac{1}{n^2}$ et $\sum\frac{1}{n^2}$ CV $\Rightarrow$ CV absolue. (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

Absolument convergente.

À retenir

Séries de référence

Non commencé

Définitions

Séries de référence à connaître : géométrique $\sum r^n$ CV ssi $|r|<1$ , somme $\frac{1}{1-r}$ ; Riemann $\sum \frac{1}{n^\alpha}$ CV ssi $\alpha > 1$ ; Bertrand $\sum \frac{1}{n^\alpha (\ln n)^\beta}$ CV ssi $\alpha > 1$ ou ( $\alpha=1$ et $\beta > 1$ ).

Série exponentielle $\sum \frac{x^n}{n!}$ CV pour tout $x$ , somme $e^x$ . Critère de Riemann en intégrale : comparer $\sum \frac{1}{n^\alpha}$ à $\int_1^{+\infty} \frac{1}{t^\alpha}\,dt$ .

Séries de référence : géométrique $\sum r^n$ CV ssi $|r|<1$ ; Riemann $\sum n^{-\alpha}$ CV ssi $\alpha>1$ ; exponentielle $\sum\frac{x^n}{n!}=e^x$ .

Bertrand : $\sum\frac{1}{n^\alpha(\ln n)^\beta}$ selon $\alpha$ , $\beta$ . Euler : $\sum\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$ .

Formules

$\sum_{n=0}^{+\infty} r^n = \frac{1}{1-r} \quad (|r| < 1)$
$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^\alpha} \text{ CV } \Leftrightarrow \alpha > 1$
$\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!} = e^x$
$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} \quad \text{(Euler)}$

Exemples

Exemple 1

Somme de $\sum_{n=0}^\infty(\frac{1}{2})^n$ .

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) Géométrique $|r|=\frac{1}{2}<1$ : somme $\frac{1}{1-1/2}=2$ . (Ou $\sum_{n=1}^\infty(\frac{1}{2})^n=1$ .) (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

$\sum_{n=0}^\infty(\frac{1}{2})^n = 2$ .

Exemple 2

Nature de $\sum\frac{x^n}{n!}$ pour $x\in\mathbb{R}$ .

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) d'Alembert : $\frac{|x|}{n+1}\to 0<1$ : CV pour tout $x$ , somme $e^x$ . (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

CV $\forall x$ , somme $e^x$ .