Fiche de cours · Maths-App

Géométrie vectorielle

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Définitions

Dans l'espace orienté $\mathbb{R}^3$ muni du produit scalaire canonique, le produit vectoriel $\vec{u} \wedge \vec{v}$ est le unique vecteur orthogonal à $\vec{u}$ et $\vec{v}$ , de norme $\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\,|\sin\theta|$ , et formant un trièdre direct avec $(\vec{u}, \vec{v})$ .

Propriétés : antisymétrie $\vec{u} \wedge \vec{v} = -\vec{v} \wedge \vec{u}$ , bilinéarité, $\vec{u} \wedge \vec{u} = \vec{0}$ , $\vec{u} \wedge \vec{v} = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{u}$ et $\vec{v}$ colinéaires. Formule en coordonnées dans la base canonique. Le produit mixte $\langle \vec{u}, \vec{v} \wedge \vec{w} \rangle$ donne le volume orienté du parallélépipède.

Le produit vectoriel $\vec{u}\wedge\vec{v}$ dans $\mathbb{R}^3$ est orthogonal à $\vec{u}$ et $\vec{v}$ , de norme $\|u\|\|v\||\sin\theta|$ , trièdre direct.

Antisymétrie, bilinéarité, $\vec{u}\wedge\vec{u}=\vec{0}$ . Produit mixte = volume orienté du parallélépipède.

Formules

$\|\vec{u} \wedge \vec{v}\| = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\,|\sin\theta|$
$\vec{u} \wedge \vec{v} \perp \vec{u} \text{ et } \vec{v}$
$\vec{i} \wedge \vec{j} = \vec{k} \quad \text{(base orthonormée directe)}$
$|\langle \vec{u}, \vec{v} \wedge \vec{w} \rangle| = \text{aire base} \times \text{hauteur}$

Exemples

Exemple 1

Calculer $(1,0,0)\wedge(0,1,0)$ .

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) Dans la base orthonormée directe : $\vec{i}\wedge\vec{j}=\vec{k}$ . (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

$(0,0,1)$ .

Exemple 2

Aire du parallélogramme engendré par $\vec{u}$ , $\vec{v}$ .

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) L'aire vaut $\|\vec{u}\wedge\vec{v}\|$ . Si colinéaires, aire nulle. (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

Aire $=\|\vec{u}\wedge\vec{v}\|$ .

À retenir

Courbes

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Définitions

Une courbe paramétrée est une application $t \mapsto M(t)$ d'un intervalle $I$ dans $\mathbb{R}^2$ ou $\mathbb{R}^3$ . La courbe $t \mapsto (\cos t, \sin t)$ est le cercle unité. Une courbe cartésienne est définie par une équation $F(x,y)=0$ ou $y=f(x)$ .

Le vecteur vitesse est $\vec{v}(t) = M'(t)$ ; le vecteur tangent est colinéaire à $\vec{v}(t)$ si $\vec{v}(t) \neq \vec{0}$ . Points singuliers : $\vec{v}(t_0)=\vec{0}$ . Coniques : parabole ( $y=x^2$ ), ellipse, hyperbole. En prépa, on étudie aussi les courbes polaires $r = f(\theta)$ .

Une courbe paramétrée $t\mapsto M(t)=(x(t),y(t))$ . Vecteur vitesse $M'(t)$ ; tangente si $M'(t)\neq 0$ . Points singuliers : $M'(t_0)=0$ .

Coniques : cercle, ellipse, parabole, hyperbole. Polaires $r=f(\theta)$ . Longueur $L=\int_a^b\|M'(t)\|\,dt$ .

Formules

$M(t) = (x(t), y(t)) \quad ; \quad \vec{v}(t) = (x'(t), y'(t))$
$\text{Cercle : } x^2 + y^2 = R^2 \Leftrightarrow t \mapsto (R\cos t, R\sin t)$
$\text{Parabole : } y = ax^2 + bx + c$
$\text{Longueur : } L = \int_a^b \|M'(t)\|\,dt$

Exemples

Exemple 1

Nature de $t\mapsto(\cos t,\sin t)$ .

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) $x^2+y^2=1$ : cercle unité, parcouru dans le sens direct, période $2\pi$ . (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

Cercle unité.

Exemple 2

Tangente à $M(t)=(t,t^2)$ en $t_0$ .

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) $M'(t)=(1,2t)$ : direction $(1,2t_0)$ en $t_0$ . (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

Tangente de direction $(1,2t_0)$ .