Algèbre linéaire

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Pas assez de questions pour un entraînement ciblé sur cette notion.

Espaces vectoriels

Non commencé

Définitions

Un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel $E$ ( $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ) est un ensemble muni d'une addition et d'une multiplication par des scalaires vérifiant les axiomes (associativité, commutativité, élément neutre, opposé, distributivité, $1\cdot u = u$ ).

Un sous-espace vectoriel (SEV) de $E$ contient $0_E$ et est stable par addition et multiplication scalaire. Une famille $(u_i)$ est libre si $\sum \lambda_i u_i = 0 \Rightarrow \forall i, \lambda_i = 0$ . Elle est génératrice si tout vecteur s'écrit comme combinaison linéaire. Une base est une famille libre et génératrice ; la dimension $\dim E$ est le cardinal d'une base (finie en prépa).

Un $\mathbb{K}$-espace vectoriel est muni d'une addition et d'une multiplication scalaire vérifiant les axiomes. Un SEV contient $0$ et est stable.

Famille libre / génératrice / base. En dimension finie, $\dim E$ = cardinal d'une base. $\dim\mathbb{R}^n=n$ , $\dim\mathbb{R}_n[X]=n+1$ .

Formules

$\dim \mathbb{R}^n = n \quad ; \quad \dim(\mathbb{R}_n[X]) = n+1$
$\text{Libre + génératrice } \Leftrightarrow \text{ base}$
$\text{Famille libre de } n \text{ vecteurs dans un espace de dim } n \Rightarrow \text{ base}$
$F \text{ SEV } \Rightarrow \dim F \leq \dim E$

Exemples

Exemple 1

La base canonique de $\mathbb{R}^3$ .

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) $(1,0,0)$ , $(0,1,0)$ , $(0,0,1)$ : libre (combinaison nulle $\Rightarrow$ coeffs nuls) et génératrice. (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

Base canonique, $\dim\mathbb{R}^3=3$ .

Exemple 2

$(1,1)$ et $(2,2)$ dans $\mathbb{R}^2$ : libres ?

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) $(2,2)=2(1,1)$ : colinéaires, donc liés. La famille n'est pas libre. (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

Famille liée.

À retenir

Applications linéaires

Non commencé

Définitions

Une application linéaire $f : E \to F$ vérifie $f(u+v) = f(u)+f(v)$ et $f(\lambda u) = \lambda f(u)$ . Conséquences : $f(0_E) = 0_F$ , $f(-u) = -f(u)$ . Le noyau $\ker f = \{x \in E : f(x) = 0\}$ et l'image $\mathrm{Im}\, f = f(E)$ sont des SEV.

Théorème du rang : $\dim E = \dim(\ker f) + \dim(\mathrm{Im}\, f)$ . $f$ est injective $\Leftrightarrow \ker f = \{0\}$ ; surjective $\Leftrightarrow \mathrm{Im}\, f = F$ . En dimension finie égale, injectif $\Leftrightarrow$ surjectif $\Leftrightarrow$ bijectif. Le rang de $f$ est $\dim(\mathrm{Im}\, f)$ .

Une application linéaire $f:E\to F$ vérifie $f(\lambda u+\mu v)=\lambda f(u)+\mu f(v)$ . Noyau $\ker f$ , image $\mathrm{Im}\,f$ .

Théorème du rang : $\dim E = \dim(\ker f)+\mathrm{rg}(f)$ . En dim finie égale : injectif $\Leftrightarrow$ surjectif $\Leftrightarrow$ bijectif.

Formules

$f \text{ linéaire } \Leftrightarrow f(\lambda u + \mu v) = \lambda f(u) + \mu f(v)$
$\dim E = \dim(\ker f) + \mathrm{rg}(f) \quad \text{(théorème du rang)}$
$\ker f = \{0\} \Leftrightarrow f \text{ injective}$
$\det(f) \neq 0 \Leftrightarrow f \text{ bijective } (\text{en dim finie, matrice carrée})$

Exemples

Exemple 1

$f(x,y)=(x+y,x-y)$ sur $\mathbb{R}^2$ : bijective ?

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) $\ker f=\{0\}$ (système $x+y=0$ , $x-y=0$ $\Rightarrow$ $x=y=0$ ). Rang $2$ : bijective. (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

$f$ bijective.

Exemple 2

Projection $(x,y,z)\mapsto(x,y)$ : rang et noyau.

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) Surjective sur $\mathbb{R}^2$ , $\ker=\mathrm{Vect}((0,0,1))$ , $\dim\ker=1$ , rang $2$ , $3=1+2$ . (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

$\mathrm{rg}=2$ , $\ker=\mathrm{Vect}(e_3)$ .