Fonctions d'une variable réelle

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Pas assez de questions pour un entraînement ciblé sur cette notion.

Limites

Non commencé

Définitions

Soit $f$ définie sur $I \subset \mathbb{R}$ sauf peut-être en $a$ . On dit que $f(x)$ tend vers $\ell \in \mathbb{R}$ quand $x \to a$ si $\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, 0 < |x-a| < \delta \Rightarrow |f(x)-\ell| < \varepsilon$ .

On distingue les limites à gauche et à droite. Les limites en $\pm\infty$ se définissent analogiquement. Théorèmes usuels : unicité de la limite, opérations, théorème de comparaison et des gendarmes. Les formes indéterminées ( $\frac{0}{0}$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , $0 \times \infty$ , etc.) demandent une transformation algébrique ou l'utilisation de développements limités.

Limite de fonction en $a$ : $\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, 0<|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-\ell|<\varepsilon$ . On distingue limites à gauche/droite et en $\pm\infty$ .

Outils : opérations, comparaison, gendarmes. Formes indéterminées ( $\frac{0}{0}$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , …) : factoriser ou DL. Limite fondamentale : $\frac{\sin x}{x}\to 1$ .

Formules

$\lim_{x \to a} f(x) = \ell \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, 0 < |x-a| < \delta \Rightarrow |f(x)-\ell| < \varepsilon$
$\lim_{x \to a} \frac{x^n - a^n}{x-a} = n a^{n-1} \quad (n \in \mathbb{N}^*)$
$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^\alpha} = 0 \quad (\alpha > 0) \quad ; \quad \lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0$

Exemples

Exemple 1

Calculer $\lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}$ .

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) Factoriser : $\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1$ pour $x\neq 1$ , donc limite $2$ . (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

$\lim = 2$ .

Exemple 2

Calculer $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}$ .

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) Limite fondamentale (admise ou via géométrie/DL) : le quotient tend vers $1$ . (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

$\lim = 1$ .

À retenir

Continuité

Non commencé

Définitions

Une fonction $f$ est continue en $a$ si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ . Elle est continue sur $I$ si elle est continue en tout point de $I$ . Les polynômes, les fonctions rationnelles (sur leur domaine), $\exp$ , $\ln$ , $\sin$ , $\cos$ sont continus sur leur domaine de définition.

Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) : si $f$ continue sur $[a,b]$ et $k$ entre $f(a)$ et $f(b)$ , alors $\exists c \in [a,b], f(c) = k$ . Corollaire : bijection continue strictement monotone sur un intervalle. Une fonction lipschitzienne $|f(x)-f(y)| \leq L|x-y|$ est uniformément continue, donc continue.

$f$ est continue en $a$ si $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$ . Polynômes, rationnelles (sur leur domaine), $\exp$ , $\ln$ , $\sin$ , $\cos$ sont continus sur leur domaine.

TVI : $f$ continue sur $[a,b]$ , $k$ entre $f(a)$ et $f(b)$ $\Rightarrow$ $\exists c$ , $f(c)=k$ . Sur un segment, $f$ continue atteint ses bornes.

Formules

$f \text{ continue en } a \Leftrightarrow \lim_{x \to a} f(x) = f(a)$
$\text{TVI : } f \text{ continue sur } [a,b],\ k \in ]f(a), f(b)[ \Rightarrow \exists c \in ]a,b[, f(c) = k$
$f \text{ continue sur } [a,b] \Rightarrow f([a,b]) = [\min f, \max f]$
$|f(x)-f(y)| \leq L|x-y| \Rightarrow f \text{ lipschitzienne}$

Exemples

Exemple 1

Prolonger $x\mapsto \frac{\sin x}{x}$ par continuité en $0$ .

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) Poser $f(0)=1$ car $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ . Alors $f$ est continue en $0$ . (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

$f(0)=1$ rend $f$ continue sur $\mathbb{R}$ .

Exemple 2

Montrer que $f(x)=x^3-x$ prend la valeur $1$ sur $[0,2]$ .

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) $f(0)=0$ , $f(2)=6$ , $1\in[0,6]$ . TVI : $\exists c\in]0,2[$ , $f(c)=1$ . (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

$\exists c\in]0,2[,\ f(c)=1$ .

À retenir

Dérivation

Non commencé

Définitions

Une fonction $f$ est dérivable en $a$ si la limite $\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ existe ; on la note $f'(a)$ . Dérivable en $a$ implique continue en $a$ . Règles : $(u+v)' = u'+v'$ , $(uv)' = u'v + uv'$ , $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ , $(u \circ v)' = (u' \circ v) \times v'$ (chain rule).

Théorème de Rolle : si $f$ continue sur $[a,b]$ , dérivable sur $]a,b[$ et $f(a)=f(b)$ , alors $\exists c \in ]a,b[, f'(c)=0$ . Théorème des accroissements finis (TAF) : $f(b)-f(a) = f'(c)(b-a)$ . Si $f'(x) \geq 0$ sur $I$ , $f$ est croissante.

$f$ est dérivable en $a$ si $\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ existe. Dérivable $\Rightarrow$ continue. Règles : produit, quotient, composition.

Rolle : $f(a)=f(b)$ $\Rightarrow$ $\exists c$ , $f'(c)=0$ . TAF : $f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$ . Si $f'\geq 0$ , $f$ croissante.

Formules

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$
$(\exp x)' = e^x \quad ; \quad (\ln x)' = \frac{1}{x} \quad ; \quad (\sin x)' = \cos x$
$\text{TAF : } \exists c \in ]a,b[, f(b)-f(a) = f'(c)(b-a)$
$f'(a) = 0 \text{ si extremum local en } a \text{ (condition nécessaire)}$

Exemples

Exemple 1

Dériver $f(x)=\sin(x^2)$ .

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) Composition : $(u\circ v)'=(u'\circ v)\,v'$ avec $u=\sin$ , $v=x^2$ : $f'(x)=2x\cos(x^2)$ . (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

$f'(x)=2x\cos(x^2)$ .

Exemple 2

Étudier les extrema de $f(x)=x^3-3x$ .

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) $f'(x)=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)$ . Signes : max local en $-1$ , min local en $1$ . (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

Extrema locaux en $x=\pm 1$ .