Suites réelles

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Pas assez de questions pour un entraînement ciblé sur cette notion.

Convergence

Non commencé

Définitions

Une suite réelle $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une application $\mathbb{N} \to \mathbb{R}$ . Elle est convergente vers $\ell \in \mathbb{R}$ si $\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n \geq N, |u_n - \ell| < \varepsilon$ .

On note $\lim u_n = \ell$ ou $u_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} \ell$ . Une suite divergente ne converge pas ; elle peut tendre vers $\pm\infty$ . Une suite est bornée s'il existe $M > 0$ tel que $|u_n| \leq M$ pour tout $n$ . Toute suite convergente est bornée. Une suite monotone (croissante ou décroissante) converge si et seulement si elle est bornée dans le bon sens (théorème de convergence monotone).

Une suite réelle $(u_n)$ converge vers $\ell$ si $\forall \varepsilon > 0, \exists N, \forall n \geq N, |u_n-\ell|<\varepsilon$ . Toute suite convergente est bornée. Une suite monotone et bornée converge (théorème de convergence monotone).

Une suite Cauchy vérifie $\forall \varepsilon>0, \exists N, \forall p,q \geq N, |u_p-u_q|<\varepsilon$ . Dans $\mathbb{R}$ , Cauchy $\Leftrightarrow$ convergente (complétude).

Formules

$u_n \to \ell \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0, \exists N, \forall n \geq N, |u_n - \ell| < \varepsilon$
$\text{Convergente } \Rightarrow \text{ bornée}$
$\text{Monotone + bornée } \Rightarrow \text{ convergente}$
$(u_n) \text{ Cauchy } \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0, \exists N, \forall p,q \geq N, |u_p - u_q| < \varepsilon$

Exemples

Exemple 1

Montrer que $u_n = \frac{1}{n}$ converge vers $0$ .

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) Soit $\varepsilon>0$ . Choisir $N > \frac{1}{\varepsilon}$ . Alors pour $n \geq N$ , $|u_n|=\frac{1}{n} \leq \frac{1}{N} < \varepsilon$ . (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

$u_n \to 0$ .

Exemple 2

Montrer que $((-1)^n)$ diverge.

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) Les sous-suites paires et impaires convergent vers $1$ et $-1$ respectivement. Une suite convergente a toutes ses sous-suites de même limite : contradiction. (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

$((-1)^n)$ diverge.

À retenir

Limites

Non commencé

Définitions

Pour calculer une limite de suite, on utilise les opérations sur les limites (somme, produit, quotient lorsque le dénominateur ne tend pas vers $0$ ), les croissances comparées et les équivalents. On dit que $u_n \sim v_n$ si $\frac{u_n}{v_n} \to 1$ (cas $v_n \neq 0$ ).

On a $u_n = o(v_n)$ si $\frac{u_n}{v_n} \to 0$ . Les limites usuelles : $\frac{1}{n^\alpha} \to 0$ si $\alpha > 0$ ; $\sqrt[n]{a} \to 1$ pour $a > 0$ ; $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \to e$ . Pour les formes indéterminées, factoriser, conjuguer ou utiliser des développements limités ultérieurement.

Pour calculer une limite de suite : opérations sur les limites, équivalents ( $u_n \sim v_n$ si $\frac{u_n}{v_n}\to 1$ ), petits o ( $u_n=o(v_n)$ si $\frac{u_n}{v_n}\to 0$ ), croissances comparées.

Limites usuelles : $\frac{1}{n^\alpha}\to 0$ ( $\alpha>0$ ), $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \to e$ . Formes indéterminées : factoriser, conjuguer, DL.

Formules

$\lim(u_n + v_n) = \lim u_n + \lim v_n \quad \text{(si les deux limites existent)}$
$\lim \frac{1}{n^\alpha} = 0 \quad (\alpha > 0) \quad ; \quad \lim \sqrt{n} = +\infty$
$\lim \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n = e^x \quad ; \quad \lim \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$
$|u_n - \ell| \leq v_n \text{ et } v_n \to 0 \Rightarrow u_n \to \ell$

Exemples

Exemple 1

Calculer $\lim \frac{3n^2+n}{n^2-1}$ .

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) Factoriser par $n^2$ : $\frac{3+1/n}{1-1/n^2} \to \frac{3}{1}=3$ . (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

$\lim = 3$ .

Exemple 2

Calculer $\lim(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})$ .

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) Multiplier par le conjugué : $\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \to 0$ . (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

$\lim = 0$ .

À retenir

Suites adjacentes

Non commencé

Définitions

Deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes si l'une est croissante, l'autre décroissante, et $u_n \leq v_n$ pour tout $n$ , avec $v_n - u_n \to 0$ . Théorème des suites adjacentes : deux suites adjacentes convergent vers la même limite $\ell$ , et $u_n \leq \ell \leq v_n$ pour tout $n$ .

Ce théorème est fondamental pour construire un réel (ex. définir $e$ ou $\pi$ ) et pour encadrer une limite. Pour prouver l'adjacence, on vérifie les trois propriétés : monotonicité de chaque suite, encadrement, et $v_n - u_n \to 0$ .

Deux suites sont adjacentes si l'une croît, l'autre décroît, $u_n \leq v_n$ , et $v_n-u_n \to 0$ . Elles convergent alors vers la même limite $\ell$ , avec $u_n \leq \ell \leq v_n$ .

Ce théorème sert à construire des réels (ex. $e$ ) et à encadrer une limite. Si $u_n \leq w_n \leq v_n$ avec $(u_n),(v_n)$ adjacentes, alors $w_n\to\ell$ .

Formules

$u_n \nearrow,\ v_n \searrow,\ u_n \leq v_n,\ v_n - u_n \to 0 \Rightarrow u_n \to \ell,\ v_n \to \ell$
$u_n \leq \ell \leq v_n \quad \text{pour tout } n$
$\text{Ex. : } u_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n,\ v_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n+1}$

Exemples

Exemple 1

Les suites $u_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}$ et $v_n=u_n+\frac{1}{n\cdot n!}$ sont adjacentes.

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) Vérifier $u_n$ croissante, $v_n$ décroissante, $u_n\leq v_n$ , $v_n-u_n\to 0$ . Leur limite commune définit $e$ . (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

$u_n \to e$ et $v_n \to e$ .

Exemple 2

Encadrer $e$ avec $n=10$ .

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) Calculer $u_{10}$ et $v_{10}$ : on obtient typiquement $2{,}7 < u_{10} < e < v_{10} < 3$ . (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

$u_{10} \leq e \leq v_{10}$ avec $v_{10}-u_{10}$ petit.