Géométrie

Fiches de cours et sous-notions liées à ce chapitre.

Pas assez de questions pour un entraînement ciblé sur cette notion.

Géométrie dans l'espace

Non commencé

Définitions

Dans l'espace, un point a trois coordonnées $(x;y;z)$ . Un plan a une équation cartésienne $ax+by+cz=d$ ; une droite peut être donnée par un point et un vecteur directeur.

Le produit scalaire s'étend : $\vec{u}\cdot\vec{v}=x_u x_v+y_u y_v+z_u z_v$ .

Pourquoi distinguer : le périmètre mesure le contour (unité de longueur), l’aire la surface (unité²), le volume l’espace (unité³). Les formules découlent du découpage ou du produit « base × hauteur » (avec les bons coefficients).

Formules

$\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;\ y_B-y_A;\ z_B-z_A)$
$\vec{u}\cdot\vec{v}=x_u x_v+y_u y_v+z_u z_v$
$\text{plan : } ax+by+cz=d$
$\text{droite : } (x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)+t(a,b,c)$

Exemples

Exemple 1

Distance $A(1;2;2)$ à $B(1;2;5)$ .

Méthode

Étape 1 : repérer les données.

Étape 2 : $\overrightarrow{AB}=(0;0;3)$ , norme $3$ .

Étape 3 : conclure avec $3$ .

Résultat

$3$

Exemple 2

Les vecteurs $(1;0;0)$ et $(0;1;0)$ sont-ils orthogonaux ?

Méthode

Étape 1 : repérer les données.

Étape 2 : Produit scalaire $1\cdot 0+0\cdot 1+0\cdot 0=0$ : oui.

Étape 3 : conclure avec Oui (produit scalaire $0$ ).

Résultat

Oui (produit scalaire $0$ )

À retenir

Trigonométrie complexe

Non commencé

Définitions

La trigonométrie complexe unifie angles et exponentielles via $\mathrm{e}^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ . Les formules d'addition deviennent des produits d'exponentielles.

On linéarise $\cos^{2}$ , $\sin^{2}$ pour intégrer plus facilement.

Pourquoi ça marche : on calcule colonne par colonne (même position) parce que $10$ unités font $1$ dizaine. La retenue ou l’emprunt, c’est exactement ce changement d’unité.

Formules

$\cos\theta = \frac{\mathrm{e}^{i\theta}+\mathrm{e}^{-i\theta}}{2}$
$\sin\theta = \frac{\mathrm{e}^{i\theta}-\mathrm{e}^{-i\theta}}{2i}$
$\cos^{2}\theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}$
$\sin^{2}\theta = \frac{1-\cos 2\theta}{2}$

Exemples

Exemple 1

Linéarise $\cos^{2}x$ .

Méthode

Étape 1 : repérer les données.

Étape 2 : Formule : $\cos^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$ .

Étape 3 : conclure avec $\frac{1+\cos 2x}{2}$ .

Résultat

$\frac{1+\cos 2x}{2}$

Exemple 2

Calcule $\mathrm{e}^{i\pi/3}+\mathrm{e}^{-i\pi/3}$ .

Méthode

On lit l’énoncé : Calcule $\mathrm{e}^{i\pi/3}+\mathrm{e}^{-i\pi/3}$ . On mobilise la relation utile de la fiche (notamment $\cos\theta = \frac{\mathrm{e}^{i\theta}+\mathrm{e}^{-i\theta}}{2}$ ). On calcule soigneusement jusqu’à $1$ , puis on vérifie l’ordre de grandeur.

Résultat

$1$