Nombres complexes

Fiches de cours et sous-notions liées à ce chapitre.

Pas assez de questions pour un entraînement ciblé sur cette notion.

Forme algébrique

Non commencé

Définitions

Sous forme algébrique $z=a+ib$ , on additionne et multiplie comme des polynômes en $i$ , avec $i^{2}=-1$ . Le conjugué transforme $i$ en $-i$ .

On a $z\overline{z}=|z|^{2}$ et $\frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{|z|^{2}}$ si $z\neq 0$ .

Pourquoi ça marche : on calcule colonne par colonne (même position) parce que $10$ unités font $1$ dizaine. La retenue ou l’emprunt, c’est exactement ce changement d’unité.

Formules

$(a+ib)(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc)$
$\frac{1}{a+ib}=\frac{a-ib}{a^{2}+b^{2}}$
$\overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w}$
$z\overline{z}=|z|^{2}$

Exemples

Exemple 1

Calcule $(2+3i)(1-i)$ .

Méthode

Étape 1 : repérer les données.

Étape 2 : $2-2i+3i-3i^{2}=2+i+3=5+i$ (car $i^{2}=-1$ ).

Étape 3 : conclure avec $5+i$ .

Résultat

$5+i$

Exemple 2

Calcule $\frac{1}{1+i}$ .

Méthode

Étape 1 : repérer les données.

Étape 2 : Multiplier par le conjugué : $\frac{1-i}{2}$ .

Étape 3 : conclure avec $\frac{1-i}{2}$ .

Résultat

$\frac{1-i}{2}$

À retenir

Illustrations

Illustrations interactives

Affixe d'un nombre complexe

Chargement du tableau…

Forme exponentielle

Non commencé

Définitions

Tout complexe non nul s'écrit sous forme trigonométrique $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ , ou exponentielle $z=r\mathrm{e}^{i\theta}$ , avec $r=|z|$ et $\theta=\arg(z)$ .

Multiplier des complexes, c'est multiplier les modules et additionner les arguments. Formule de Moivre : $(\cos\theta+i\sin\theta)^{n}=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)$ .

Pourquoi ça marche : on calcule colonne par colonne (même position) parce que $10$ unités font $1$ dizaine. La retenue ou l’emprunt, c’est exactement ce changement d’unité.

Formules

$z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = r\mathrm{e}^{i\theta}$
$\mathrm{e}^{i\theta}=\cos\theta + i\sin\theta$
$(r\mathrm{e}^{i\theta})(s\mathrm{e}^{i\phi})=rs\mathrm{e}^{i(\theta+\phi)}$
$(\cos\theta + i\sin\theta)^{n}=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)$

Exemples

Exemple 1

Écris $1+i$ sous forme exponentielle.

Méthode

Étape 1 : repérer les données.

Étape 2 : $|1+i|=\sqrt{2}$ , $\arg=\pi/4$ : $\sqrt{2}\,\mathrm{e}^{i\pi/4}$ .

Étape 3 : conclure avec $\sqrt{2}\,\mathrm{e}^{i\pi/4}$ .

Résultat

$\sqrt{2}\,\mathrm{e}^{i\pi/4}$

Exemple 2

Calcule $(1+i)^{2}$ via la forme expo.

Méthode

Étape 1 : repérer les données.

Étape 2 : $(\sqrt{2}\mathrm{e}^{i\pi/4})^{2}=2\mathrm{e}^{i\pi/2}=2i$ .

Étape 3 : conclure avec $2i$ .

Résultat

$2i$

À retenir

Applications

Non commencé

Définitions

Les complexes servent à résoudre des équations polynomiales, décrire des rotations/similitudes du plan, et factoriser. Les racines $n$ -ièmes de l'unité sont $\mathrm{e}^{2ik\pi/n}$ .

Multiplier par $\mathrm{e}^{i\theta}$ réalise une rotation d'angle $\theta$ autour de l'origine.

Pourquoi ça marche : multiplier, c’est ajouter plusieurs fois le même nombre. Les tables fixent ces résultats pour libérer l’attention lors des problèmes et des techniques opératoires.

Formules

$z^{n}=r\mathrm{e}^{i\theta}\Rightarrow z=\sqrt[n]{r}\mathrm{e}^{i(\theta+2k\pi)/n}$
$\text{rotation angle }\theta:\ z\mapsto \mathrm{e}^{i\theta}z$
$z^{2}+z+1=0:\ z=j,\ j^{2}\ (j^{3}=1)$

Exemples

Exemple 1

Que fait la multiplication par $i$ dans le plan ?

Méthode

Étape 1 : repérer les données.

Étape 2 : $i=\mathrm{e}^{i\pi/2}$ : rotation de $90°$ (ex. $2\mapsto 2i$ ).

Étape 3 : conclure avec Rotation de $\frac{\pi}{2}$ .

Résultat

Rotation de $\frac{\pi}{2}$

Exemple 2

Résous $z^{2}-2z+2=0$ .

Méthode

Étape 1 : repérer les données.

Étape 2 : $\Delta=4-8=-4$ , $z=\frac{2\pm 2i}{2}=1\pm i$ .

Étape 3 : conclure avec $z=1\pm i$ .

Résultat

$z=1\pm i$