Dérivation et intégration

Fiches de cours et sous-notions liées à ce chapitre.

Pas assez de questions pour un entraînement ciblé sur cette notion.

Dérivation avancée

Non commencé

Définitions

En terminale, on dérive des compositions : $u^{n}$ , $\mathrm{e}^{u}$ , $\ln u$ , $\sqrt{u}$ . La dérivée seconde $f''$ renseigne sur la convexité : $f''\geq 0$ ⇒ $f$ convexe.

Le théorème des accroissements finis relie $f(b)-f(a)$ à $f'(c)(b-a)$ .

Pourquoi ça marche : une fonction associe à chaque $x$ (du domaine) au plus une image $f(x)$ . Étudier variations, dérivée ou limites, c’est décrire comment $f(x)$ évolue ; suites et exponentielle/logarithme sont des modèles privilégiés au lycée.

Formules

$(u^n)' = n u^{n-1} u'$
$(\mathrm{e}^{u})' = u'\mathrm{e}^{u}$
$(\ln u)' = \frac{u'}{u}$
$f''\ge 0 \Rightarrow f\text{ convexe}$

Exemples

Exemple 1

Dérivée de $f(x)=\mathrm{e}^{-x^{2}}$ ?

Méthode

Étape 1 : repérer les données.

Étape 2 : Composition : $f'(x)=-2x\,\mathrm{e}^{-x^{2}}$ .

Étape 3 : conclure avec $-2x\mathrm{e}^{-x^{2}}$ .

Résultat

$-2x\mathrm{e}^{-x^{2}}$

Exemple 2

Dérivée de $f(x)=\ln(x^{2}+1)$ ?

Méthode

Étape 1 : repérer les données.

Étape 2 : $(\ln u)'=u'/u$ avec $u=x^{2}+1$ : $f'(x)=\frac{2x}{x^{2}+1}$ .

Étape 3 : conclure avec $\frac{2x}{x^{2}+1}$ .

Résultat

$\frac{2x}{x^{2}+1}$

À retenir

Intégration

Non commencé

Définitions

L'intégrale $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx$ mesure l'aire algébrique sous la courbe de $f$ entre $a$ et $b$ . Si $F$ est une primitive, $\int_{a}^{b}f=F(b)-F(a)$ .

Propriétés : linéarité, relation de Chasles, positivité. L'intégration par parties : $\int u'v=[uv]-\int uv'$ .

Pourquoi distinguer : le périmètre mesure le contour (unité de longueur), l’aire la surface (unité²), le volume l’espace (unité³). Les formules découlent du découpage ou du produit « base × hauteur » (avec les bons coefficients).

Formules

$\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)$
$\int_a^b (\alpha f+\beta g)=\alpha\int_a^b f+\beta\int_a^b g$
$\int_a^c f = \int_a^b f + \int_b^c f$
$\int_a^b u'v = [uv]_a^b - \int_a^b u v'$

Exemples

Exemple 1

Calcule $\int_{0}^{1} x^{2}\,dx$ .

Méthode

Étape 1 : repérer les données.

Étape 2 : $\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{3}$ .

Étape 3 : conclure avec $\frac{1}{3}$ .

Résultat

$\frac{1}{3}$

Exemple 2

Calcule $\int_{0}^{\pi}\sin x\,dx$ .

Méthode

On lit l’énoncé : Calcule $\int_{0}^{\pi}\sin x\,dx$ . On mobilise la relation utile de la fiche (notamment $\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)$ ). On calcule soigneusement jusqu’à $2$ , puis on vérifie l’ordre de grandeur.

Résultat

$2$

À retenir

Primitives

Non commencé

Définitions

Une primitive de $f$ sur un intervalle $I$ est une fonction $F$ dérivable telle que $F'=f$ . Les primitives diffèrent d'une constante.

On lit les formules « à l'envers » des dérivées usuelles ; formes $u'u^{n}$ et $u'/u$ sont centrales.

Formules

$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n \neq -1)$
$\int \mathrm{e}^{x}\,dx = \mathrm{e}^{x}+C$
$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x|+C$
$\int \frac{u'}{u}\,dx = \ln|u|+C$

Exemples

Exemple 1

Une primitive de $3x^{2}$ ?

Méthode

Étape 1 : repérer les données.

Étape 2 : $(x^{3})'=3x^{2}$ , donc $x^{3}$ (plus constante) est une primitive.

Étape 3 : conclure avec $x^{3}+C$ .

Résultat

$x^{3}+C$

Exemple 2

Primitive de $\frac{2x}{x^{2}+1}$ ?

Méthode

Étape 1 : repérer les données.

Étape 2 : Forme $u'/u$ avec $u=x^{2}+1$ : $\ln(x^{2}+1)+C$ .

Étape 3 : conclure avec $\ln(x^{2}+1)+C$ .

Résultat

$\ln(x^{2}+1)+C$