Suites

Fiches de cours et sous-notions liées à ce chapitre.

Pas assez de questions pour un entraînement ciblé sur cette notion.

Limites de suites

Non commencé

Définitions

La limite d'une suite décrit son comportement quand $n\to+\infty$ . On dit $u_n\to L$ si les termes deviennent arbitrairement proches de $L$ .

Suites géométriques : $|q|<1\Rightarrow q^{n}\to 0$ ; $|q|>1\Rightarrow |q|^{n}\to+\infty$ . On lève les formes indéterminées par factorisation / division par le terme dominant.

Pourquoi ça marche : diviser, c’est partager en parts égales (ou chercher combien de fois le diviseur « entre » dans le dividende). Le reste est ce qui reste une fois les parts complètes formées ; il est toujours plus petit que le diviseur.

Formules

$u_n\to L \Leftrightarrow \forall\varepsilon>0,\ \exists N,\ n\ge N\Rightarrow |u_n-L|<\varepsilon$
$q^n \to 0 \text{ si } |q|<1$
$\text{si } u_n\to L,\ v_n\to M:\ u_n+v_n\to L+M$
$\text{formes indéterminées : } \infty-\infty,\ \tfrac{\infty}{\infty}$

Exemples

Exemple 1

Limite de $\frac{1}{n}$ quand $n\to+\infty$ ?

Méthode

Étape 1 : repérer les données.

Étape 2 : Pour $n$ grand, $\frac{1}{n}$ est arbitrairement proche de $0$ .

Étape 3 : conclure avec $0$ .

Résultat

$0$

Exemple 2

Limite de $\frac{2n+1}{n+3}$ ?

Méthode

Étape 1 : repérer les données.

Étape 2 : Diviser par $n$ : $\frac{2+1/n}{1+3/n}\to\frac{2}{1}=2$ .

Étape 3 : conclure avec $2$ .

Résultat

$2$

À retenir

Raisonnement par récurrence

Non commencé

Définitions

Le raisonnement par récurrence prouve qu'une propriété $P(n)$ est vraie pour tout entier $n\geq n_0$ . On vérifie l'initialisation $P(n_0)$ , puis l'hérédité $P(k)\Rightarrow P(k+1)$ .

C'est l'outil standard pour suites définies par récurrence et inégalités sur $\mathbb{N}$ .

Pourquoi ça marche : une fonction associe à chaque $x$ (du domaine) au plus une image $f(x)$ . Étudier variations, dérivée ou limites, c’est décrire comment $f(x)$ évolue ; suites et exponentielle/logarithme sont des modèles privilégiés au lycée.

Formules

$\text{Init : } P(n_0)\ \text{vraie}$
$\text{Hérédité : } P(k)\Rightarrow P(k+1)$
$\text{Conclusion : } \forall n\ge n_0,\ P(n)$

Exemples

Exemple 1

Sur quel ensemble le principe de récurrence s'applique-t-il ?

Méthode

Étape 1 : repérer les données.

Étape 2 : La récurrence porte sur les entiers naturels (à partir d'un rang $n_0$ ).

Étape 3 : conclure avec Les entiers naturels. Pourquoi ça marche : chaque terme s’obtient en ajoutant la raison $r$ au précédent.

Résultat

Les entiers naturels

Exemple 2

Prouver $2^{n}\geq n+1$ pour $n\geq 1$ .

Méthode

Étape 1 : repérer les données.

Étape 2 : Init $n=1$ : $2\geq 2$ . Hérédité : si $2^{k}\geq k+1$ , alors $2^{k+1}\geq 2(k+1)\geq k+2$ .

Étape 3 : conclure avec Vrai pour tout $n\geq 1$ . Pourquoi ça marche : chaque terme s’obtient en ajoutant la raison $r$ au précédent.

Résultat

Vrai pour tout $n\geq 1$

À retenir

Suites monotones

Non commencé

Définitions

Une suite est croissante si $u_{n+1}\geq u_n$ , décroissante si $u_{n+1}\leq u_n$ . Une suite monotone bornée converge (théorème fondamental).

Pour $u_{n+1}=f(u_n)$ , si $(u_n)$ converge vers $\ell$ et $f$ est continue, alors $\ell=f(\ell)$ (point fixe).

Formules

$u_{n+1}-u_n \ge 0 \Leftrightarrow (u_n)\text{ croissante}$
$\text{monotone + bornée } \Rightarrow \text{convergente}$
$\ell = f(\ell)\ \text{(point fixe)}$

Exemples

Exemple 1

Une suite croissante majorée est…

Méthode

Étape 1 : repérer les données.

Étape 2 : Théorème de convergence monotone : elle converge.

Étape 3 : conclure avec Convergente.

Résultat

Convergente

Exemple 2

$u_n=1-\frac{1}{n}$ : convergence ?

Méthode

Étape 1 : repérer les données.

Étape 2 : Croissante, majorée par $1$ ⇒ converge (vers $1$ ).

Étape 3 : conclure avec Converge vers $1$ .

Résultat

Converge vers $1$