Probabilités

Fiches de cours et sous-notions liées à ce chapitre.

Pas assez de questions pour un entraînement ciblé sur cette notion.

Variables aléatoires

Non commencé

Définitions

Une variable aléatoire discrète $X$ associe un nombre réel à chaque issue. Sa loi donne $P(X=x_i)$ pour chaque valeur.

L'espérance $E(X)=\sum x_i P(X=x_i)$ et la variance $V(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}$ résument la loi.

Pourquoi ça marche : une probabilité mesure une incertitude entre $0$ et $1$ . L’indépendance factorise les intersections ; l’espérance est la moyenne « pondérée par les probabilités ». Les stats résument une série (centre, dispersion).

Formules

$E(X)=\sum x_i P(X=x_i)$
$V(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}$
$\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$
$E(aX+b)=aE(X)+b$

Exemples

Exemple 1

$X$ vaut $1$ ou $5$ avec proba $0{,}5$ chacune. $E(X)$ ?

Méthode

On lit l’énoncé : $X$ vaut $1$ ou $5$ avec proba $0{,}5$ chacune. $E(X)$ ? On mobilise la relation utile de la fiche (notamment $E(X)=\sum x_i P(X=x_i)$ ). On calcule soigneusement jusqu’à $3$ , puis on vérifie l’ordre de grandeur.

Résultat

$3$

Exemple 2

$X$ vaut $0$ ou $10$ avec proba $0{,}5$ . Variance ?

Méthode

Étape 1 : repérer les données.

Étape 2 : $E(X)=5$ , $E(X^{2})=0{,}5\times 0+0{,}5\times 100=50$ , $V=50-25=25$ .

Étape 3 : conclure avec $25$ .

Résultat

$25$

À retenir

Lois

Non commencé

Définitions

La loi binomiale $\mathcal{B}(n;p)$ compte le nombre de succès dans $n$ épreuves de Bernoulli indépendantes de paramètre $p$ .

Espérance $np$ , variance $np(1-p)$ . La loi de Bernoulli est le cas $n=1$ .

Formules

$P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}$
$E(X)=np,\quad V(X)=np(1-p)$
$\text{Bernoulli : } \mathcal{B}(1,p)\ \text{avec } E=p,\ V=p(1-p)$

Exemples

Exemple 1

Pour $\mathcal{B}(10;0{,}5)$ , l'espérance ?

Méthode

On lit l’énoncé : Pour $\mathcal{B}(10;0{,}5)$ , l'espérance ? On mobilise la relation utile de la fiche (notamment $P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}$ ). On calcule soigneusement jusqu’à $5$ , puis on vérifie l’ordre de grandeur.

Résultat

$5$

Exemple 2

Espérance d'une Bernoulli de paramètre $p$ ?

Méthode

On lit l’énoncé : Espérance d'une Bernoulli de paramètre $p$ ? On mobilise la relation utile de la fiche (notamment $P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}$ ). On calcule soigneusement jusqu’à $p$ , puis on vérifie l’ordre de grandeur.

Résultat

$p$