Géométrie vectorielle

Fiches de cours et sous-notions liées à ce chapitre.

Pas assez de questions pour un entraînement ciblé sur cette notion.

Produit scalaire

Non commencé

Définitions

Le produit scalaire de deux vecteurs du plan est $\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos\theta$ , ou en coordonnées $x_u x_v+y_u y_v$ .

Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.

Pourquoi distinguer : le périmètre mesure le contour (unité de longueur), l’aire la surface (unité²), le volume l’espace (unité³). Les formules découlent du découpage ou du produit « base × hauteur » (avec les bons coefficients).

Formules

$\vec{u}\cdot\vec{v}=x_u x_v+y_u y_v$
$\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos\theta$
$\vec{u}\perp\vec{v}\Leftrightarrow \vec{u}\cdot\vec{v}=0$
$\vec{u}\cdot\vec{u}=\|\vec{u}\|^{2}$

Exemples

Exemple 1

Si $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$ , que dire ?

Méthode

Étape 1 : repérer les données.

Étape 2 : Produit scalaire nul ⇒ vecteurs orthogonaux (si non nuls).

Étape 3 : conclure avec Orthogonaux.

Résultat

Orthogonaux

Exemple 2

$\|\vec{u}\|=3$ , $\|\vec{v}\|=4$ , angle $60°$ . Calcule $\vec{u}\cdot\vec{v}$ .

Méthode

Étape 1 : repérer les données.

Étape 2 : $3\times 4\times\cos 60°=12\times\frac{1}{2}=6$ .

Étape 3 : conclure avec $6$ .

Résultat

$6$

À retenir

Géométrie analytique

Non commencé

Définitions

En géométrie analytique du plan, une droite a une équation $y=mx+p$ ou $ax+by+c=0$ . Un vecteur directeur de $y=mx+p$ est $(1;m)$ .

Distance, milieu et colinéarité restent les outils de seconde ; le produit scalaire sert pour l'orthogonalité.

Pourquoi ça marche : diviser, c’est partager en parts égales (ou chercher combien de fois le diviseur « entre » dans le dividende). Le reste est ce qui reste une fois les parts complètes formées ; il est toujours plus petit que le diviseur.

Formules

$y = mx + p \quad \text{vecteur directeur }(1;m)$
$AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$
$\vec{n}=(a;b)\ \text{normal à } ax+by+c=0$

Exemples

Exemple 1

Distance $A(1;2)$ , $B(4;6)$ .

Méthode

On lit l’énoncé : Distance $A(1;2)$ , $B(4;6)$ . On mobilise la relation utile de la fiche (notamment $y = mx + p \quad \text{vecteur directeur }(1;m)$ ). On calcule soigneusement jusqu’à $5$ , puis on vérifie l’ordre de grandeur.

Résultat

$5$

Exemple 2

Vecteur directeur de $y=2x+1$ : $(1;\,?)$

Méthode

On lit l’énoncé : Vecteur directeur de $y=2x+1$ : $(1;\,?)$ On mobilise la relation utile de la fiche (notamment $y = mx + p \quad \text{vecteur directeur }(1;m)$ ). On calcule soigneusement jusqu’à $2$ , puis on vérifie l’ordre de grandeur.

Résultat

$2$