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Cours · 1ère (spé maths)

Trigonométrie et nombres complexes

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Trigonométrie

Non commencé

Définitions

En première, la trigonométrie s'appuie sur le cercle trigonométrique et le radian. Les fonctions sin⁡\sin et cos⁡\cos sont 2π2\pi-périodiques ; tan⁡\tan est π\pi-périodique (là où elle est définie).

Valeurs remarquables en radians : 00, π/6\pi/6, π/4\pi/4, π/3\pi/3, π/2\pi/2, π\pi.

Pourquoi distinguer : le périmètre mesure le contour (unité de longueur), l’aire la surface (unité²), le volume l’espace (unité³). Les formules découlent du découpage ou du produit « base × hauteur » (avec les bons coefficients).

Formules

  • cos⁡π=−1,sin⁡π2=1,tan⁡π4=1\cos\pi=-1,\quad \sin\tfrac{\pi}{2}=1,\quad \tan\tfrac{\pi}{4}=1
  • sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1
  • peˊriode de sin⁡,cos⁡: 2π\text{période de }\sin,\cos :\ 2\pi
  • cos⁡(θ+2kπ)=cos⁡θ\cos(\theta+2k\pi)=\cos\theta

Exemples

Exemple 1

Calcule cos⁡(π)\cos(\pi) et sin⁡(π2)\sin(\frac{\pi}{2}).

Méthode

Étape 1 : repérer les données.

Étape 2 : Sur le cercle : cos⁡π=−1\cos\pi=-1, sin⁡(π/2)=1\sin(\pi/2)=1.

Étape 3 : conclure avec −1-1 et 11.

Résultat

−1-1 et 11

Exemple 2

Période de la fonction sin⁡\sin ?

Méthode

Étape 1 : repérer les données.

Étape 2 : sin⁡(θ+2π)=sin⁡θ\sin(\theta+2\pi)=\sin\theta : période 2π2\pi.

Étape 3 : conclure avec 2π2\pi.

Résultat

2π2\pi

À retenir

Nombres complexes (intro)

Non commencé

Définitions

Un nombre complexe s'écrit z=a+ibz=a+ib avec a,b∈Ra,b\in\mathbb{R} et i2=−1i^{2}=-1. La partie réelle est aa, la partie imaginaire bb.

Le conjugué est z‾=a−ib\overline{z}=a-ib ; le module ∣z∣=a2+b2|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}.

Pourquoi distinguer : le périmètre mesure le contour (unité de longueur), l’aire la surface (unité²), le volume l’espace (unité³). Les formules découlent du découpage ou du produit « base × hauteur » (avec les bons coefficients).

Formules

  • i2=−1i^{2}=-1
  • z=a+ib,z‾=a−ibz=a+ib,\quad \overline{z}=a-ib
  • ∣z∣=a2+b2|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}
  • zz‾=∣z∣2z\overline{z}=|z|^{2}

Exemples

Exemple 1

Module de z=3+4iz=3+4i ?

Méthode

On lit l’énoncé : Module de z=3+4iz=3+4i ? On mobilise la relation utile de la fiche (notamment i2=−1i^{2}=-1). On calcule soigneusement jusqu’à 55, puis on vérifie l’ordre de grandeur.

Résultat

55

Exemple 2

Conjugué de z=2+3iz=2+3i ?

Méthode

Étape 1 : repérer les données.

Étape 2 : On change le signe de la partie imaginaire : 2−3i2-3i.

Étape 3 : conclure avec 2−3i2-3i.

Résultat

2−3i2-3i

À retenir