Dérivation

Fiches de cours et sous-notions liées à ce chapitre.

Pas assez de questions pour un entraînement ciblé sur cette notion.

Nombre dérivé

Non commencé

Définitions

Le nombre dérivé de $f$ en $a$ est la limite du taux d'accroissement : $f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ , lorsqu'elle existe.

Géométriquement, $f'(a)$ est la pente de la tangente à la courbe en $x=a$ .

Pourquoi ça marche : dans un triangle rectangle, cosinus, sinus et tangente sont des rapports de côtés qui ne dépendent que de l’angle. Sur le cercle trigonométrique, on prolonge ces rapports à tout angle.

Formules

$f'(a) = \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$
$(x^n)' = n x^{n-1}$
$\text{tangente en } a :\ y = f(a) + f'(a)(x-a)$

Exemples

Exemple 1

Si $f(x)=x^2$ , le nombre dérivé en $x=3$ ?

Méthode

Étape 1 : repérer les données.

Étape 2 : $f'(x)=2x$ , donc $f'(3)=6$ . Ou limite : $\frac{(3+h)^2-9}{h}=6+h\to 6$ .

Étape 3 : conclure avec $6$ . Pourquoi ça marche : le nombre dérivé est la limite du taux d’accroissement, pente de la tangente.

Résultat

$6$

Exemple 2

Si $f(x)=x^3$ , nombre dérivé en $x=2$ ?

Méthode

On lit l’énoncé : Si $f(x)=x^3$ , nombre dérivé en $x=2$ ? On mobilise la relation utile de la fiche (notamment $f'(a) = \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ ). On calcule soigneusement jusqu’à $12$ , puis on vérifie l’ordre de grandeur. Pourquoi ça marche : le nombre dérivé est la limite du taux d’accroissement, pente de la tangente.

Résultat

$12$

À retenir

Fonction dérivée

Non commencé

Définitions

La fonction dérivée $f'$ associe à chaque $x$ le nombre dérivé $f'(x)$ . On dérive somme, produit, quotient et compositions usuelles ( $x^n$ , $\frac{1}{x}$ , $\sqrt{x}$ , $\mathrm{e}^x$ , $\ln x$ ).

Les formules de dérivation doivent être appliquées avec le domaine de dérivabilité.

Pourquoi ça marche : une fonction associe à chaque $x$ (du domaine) au plus une image $f(x)$ . Étudier variations, dérivée ou limites, c’est décrire comment $f(x)$ évolue ; suites et exponentielle/logarithme sont des modèles privilégiés au lycée.

Formules

$(u+v)' = u'+v'$
$(uv)' = u'v + uv'$
$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v-uv'}{v^2}$
$(x^n)'=nx^{n-1},\quad \left(\frac{1}{x}\right)'=-\frac{1}{x^2}$

Exemples

Exemple 1

Dérivée de $f(x)=3x^2+2x-5$ ?

Méthode

On lit l’énoncé : Dérivée de $f(x)=3x^2+2x-5$ ? On mobilise la relation utile de la fiche (notamment $(u+v)' = u'+v'$ ). On calcule soigneusement jusqu’à $6x+2$ , puis on vérifie l’ordre de grandeur.

Résultat

$6x+2$

Exemple 2

Dérivée de $f(x)=\frac{1}{x}$ ?

Méthode

Étape 1 : repérer les données.

Étape 2 : $x^{-1}$ : dérivée $-x^{-2}=-\frac{1}{x^2}$ .

Étape 3 : conclure avec $-\frac{1}{x^2}$ .

Résultat

$-\frac{1}{x^2}$

À retenir

Variations

Non commencé

Définitions

Le signe de la dérivée donne les variations de $f$ : si $f'>0$ sur un intervalle, $f$ est strictement croissante ; si $f'<0$ , strictement décroissante.

Les zéros de $f'$ (où $f'$ change de signe) sont des candidats à extremum local.

Formules

$f'>0 \Rightarrow f \text{ croissante}$
$f'<0 \Rightarrow f \text{ décroissante}$
$f'(a)=0 \text{ et changement de signe } \Rightarrow \text{extremum local}$
$\text{tableau de variations via signe de } f'$

Exemples

Exemple 1

Si $f'(x)>0$ sur $[a;b]$ , que dire de $f$ ?

Méthode

Étape 1 : repérer les données.

Étape 2 : Théorème : $f'>0$ implique $f$ strictement croissante sur $[a;b]$ .

Étape 3 : conclure avec Croissante.

Résultat

Croissante

Exemple 2

Pour $f(x)=x^2-4x$ , où $f$ croît-elle ?

Méthode

Étape 1 : repérer les données.

Étape 2 : $f'(x)=2x-4=2(x-2)$ . $f'>0$ pour $x>2$ : croissante sur $[2;+\infty[$ .

Étape 3 : conclure avec Croissante sur $[2;+\infty[$ .

Résultat

Croissante sur $[2;+\infty[$