Suites

Fiches de cours et sous-notions liées à ce chapitre.

Pas assez de questions pour un entraînement ciblé sur cette notion.

Définitions

Non commencé

Définitions

Une suite $(u_n)$ est une fonction de $\mathbb{N}$ (ou $\mathbb{N}^*$ ) vers $\mathbb{R}$ . Elle peut être définie explicitement par $u_n=f(n)$ , ou par récurrence $u_{n+1}=g(u_n)$ avec un premier terme.

Calculer un terme, c'est appliquer la formule (explicite) ou itérer la relation (récurrente).

Pourquoi ça marche : une fonction associe à chaque $x$ (du domaine) au plus une image $f(x)$ . Étudier variations, dérivée ou limites, c’est décrire comment $f(x)$ évolue ; suites et exponentielle/logarithme sont des modèles privilégiés au lycée.

Formules

$u_n = f(n) \quad (\text{explicite})$
$u_{n+1} = g(u_n),\ u_0 \text{ donné} \quad (\text{récurrente})$
$(u_n)_{n\in\mathbb{N}} \text{ : suite indexée par } n$

Exemples

Exemple 1

Si $u_n=2n+1$ , calcule $u_5$ .

Méthode

On lit l’énoncé : Si $u_n=2n+1$ , calcule $u_5$ . On mobilise la relation utile de la fiche (notamment $u_n = f(n) \quad (\text{explicite})$ ). On calcule soigneusement jusqu’à $11$ , puis on vérifie l’ordre de grandeur.

Résultat

$11$

Exemple 2

Si $u_n=n^2-3$ , calcule $u_4$ .

Méthode

On lit l’énoncé : Si $u_n=n^2-3$ , calcule $u_4$ . On mobilise la relation utile de la fiche (notamment $u_n = f(n) \quad (\text{explicite})$ ). On calcule soigneusement jusqu’à $13$ , puis on vérifie l’ordre de grandeur.

Résultat

$13$

À retenir

Suites arithmétiques

Non commencé

Définitions

Une suite arithmétique a une raison constante $r$ : chaque terme s'obtient en ajoutant $r$ au précédent. Le terme général est affine en $n$ .

La somme des $n$ premiers termes utilise $S_n=\frac{n}{2}(\text{premier}+\text{dernier})$ .

Formules

$u_{n+1} = u_n + r$
$u_n = u_1 + (n-1)r$
$S_n = \frac{n}{2}\bigl(u_1 + u_n\bigr)$
$S_n = \frac{n}{2}\bigl(2u_1 + (n-1)r\bigr)$

Exemples

Exemple 1

Suite arithmétique : $u_1=3$ , raison $4$ . Terme de rang $5$ ?

Méthode

On lit l’énoncé : Suite arithmétique : $u_1=3$ , raison $4$ . Terme de rang $5$ ? On mobilise la relation utile de la fiche (notamment $u_{n+1} = u_n + r$ ). On calcule soigneusement jusqu’à $19$ , puis on vérifie l’ordre de grandeur. Pourquoi ça marche : chaque terme s’obtient en ajoutant la raison $r$ au précédent.

Résultat

$19$

Exemple 2

Somme $1+2+\cdots+20$ .

Méthode

Étape 1 : repérer les données.

Étape 2 : Suite arithmétique $u_k=k$ , $n=20$ : $S_{20}=\frac{20}{2}(1+20)=210$ .

Étape 3 : conclure avec $210$ .

Résultat

$210$

À retenir

Suites géométriques

Non commencé

Définitions

Une suite géométrique a une raison constante $q$ : chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par $q$ . Le terme général est exponentiel en $n$ .

La somme partielle vaut $S_n=u_1\frac{1-q^n}{1-q}$ si $q\neq 1$ .

Formules

$u_{n+1} = q\, u_n$
$u_n = u_1\, q^{n-1}$
$S_n = u_1\frac{1-q^n}{1-q} \quad (q \neq 1)$

Exemples

Exemple 1

Suite géométrique : $u_1=2$ , raison $3$ . Terme de rang $4$ ?

Méthode

On lit l’énoncé : Suite géométrique : $u_1=2$ , raison $3$ . Terme de rang $4$ ? On mobilise la relation utile de la fiche (notamment $u_{n+1} = q\, u_n$ ). On calcule soigneusement jusqu’à $54$ , puis on vérifie l’ordre de grandeur. Pourquoi ça marche : chaque terme s’obtient en ajoutant la raison $r$ au précédent.

Résultat

$54$

Exemple 2

Calcule $1+2+4+8+16$ .

Méthode

Étape 1 : repérer les données.

Étape 2 : Géométrique $u_1=1$ , $q=2$ , $n=5$ termes : $S_5=\frac{1-2^5}{1-2}=31$ .

Étape 3 : conclure avec $31$ .

Résultat

$31$