Géométrie

Fiches de cours et sous-notions liées à ce chapitre.

Pas assez de questions pour un entraînement ciblé sur cette notion.

Vecteurs

Non commencé

Définitions

Un vecteur $\vec{u}$ du plan est caractérisé par une direction, un sens et une norme. En coordonnées, $\vec{u}=(x;y)$ et $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;\, y_B-y_A)$ .

L'addition et la multiplication par un scalaire se font coordonnée par coordonnée. La norme est $\|\vec{u}\|=\sqrt{x^2+y^2}$ .

Pourquoi ça marche : on calcule colonne par colonne (même position) parce que $10$ unités font $1$ dizaine. La retenue ou l’emprunt, c’est exactement ce changement d’unité.

Formules

$\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A;\ y_B - y_A)$
$\vec{u}+\vec{v} = (x_u+x_v;\ y_u+y_v)$
$k\vec{u} = (kx_u;\ ky_u)$
$\|\vec{u}\| = \sqrt{x_u^2 + y_u^2}$

Exemples

Exemple 1

Si $\vec{u}=(2;3)$ et $\vec{v}=(4;1)$ , calcule $\vec{u}+\vec{v}$ (abscisse puis ordonnée).

Méthode

On lit l’énoncé : Si $\vec{u}=(2;3)$ et $\vec{v}=(4;1)$ , calcule $\vec{u}+\vec{v}$ (abscisse puis ordonnée). On mobilise la relation utile de la fiche (notamment $\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A;\ y_B - y_A)$ ). On calcule soigneusement jusqu’à $(6;4)$ , puis on vérifie l’ordre de grandeur.

Résultat

$(6;4)$

Exemple 2

Avec $A(1;1)$ et $B(4;5)$ , calcule $\overrightarrow{AB}$ .

Méthode

Étape 1 : repérer les données.

Étape 2 : $(4-1;\,5-1)=(3;4)$ . Norme : $\sqrt{9+16}=5$ .

Étape 3 : conclure avec $(3;4)$ .

Résultat

$(3;4)$

À retenir

Illustrations

Illustrations interactives

Somme de vecteurs

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Géométrie analytique

Non commencé

Définitions

La géométrie analytique traduit les propriétés géométriques en calculs sur les coordonnées : distance, milieu, équation de droite, colinéarité.

C'est le pont entre le calcul littéral et la géométrie du plan.

Pourquoi ça marche : les propriétés d’angles (droit, plats, correspondants avec parallèles) et les symétries conservent les distances utiles. En construction, règle et compas matérialisent ces égalités de longueurs.

Formules

$AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}$
$I = \left(\frac{x_A+x_B}{2};\ \frac{y_A+y_B}{2}\right)$
$\text{droite } (AB):\ y - y_A = m(x-x_A),\ m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$
$\vec{u}\parallel\vec{v} \iff x_u y_v - y_u x_v = 0$

Exemples

Exemple 1

Distance entre $A(1;2)$ et $B(4;6)$ .

Méthode

Étape 1 : repérer les données.

Étape 2 : $AB=\sqrt{(4-1)^2+(6-2)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$ .

Étape 3 : conclure avec $5$ .

Résultat

$5$

Exemple 2

Milieu de $A(2;4)$ et $B(6;8)$ : abscisse ?

Méthode

Étape 1 : repérer les données.

Étape 2 : $x_I=\frac{2+6}{2}=4$ , $y_I=\frac{4+8}{2}=6$ .

Étape 3 : conclure avec $4$ (point $I(4;6)$ ).

Résultat

$4$ (point $I(4;6)$ )

À retenir

Trigonométrie

Non commencé

Définitions

Dans un triangle rectangle, cosinus, sinus et tangente relient un angle aigu aux longueurs des côtés. Sur le cercle trigonométrique, ces rapports se prolongent à tout angle.

Les valeurs remarquables ( $30°$ , $45°$ , $60°$ ) et l'identité $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ sont à connaître parfaitement.

Pourquoi distinguer : le périmètre mesure le contour (unité de longueur), l’aire la surface (unité²), le volume l’espace (unité³). Les formules découlent du découpage ou du produit « base × hauteur » (avec les bons coefficients).

Formules

$\cos\theta = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}},\quad \sin\theta = \frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}$
$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$
$\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$
$\cos 60^\circ = \tfrac12,\ \sin 60^\circ = \tfrac{\sqrt{3}}{2},\ \tan 45^\circ = 1$

Exemples

Exemple 1

Dans un triangle rectangle, $\tan(45°)=\,?$

Méthode

Étape 1 : repérer les données.

Étape 2 : À $45°$ , côtés opposés et adjacents égaux : $\tan 45°=1$ .

Étape 3 : conclure avec $1$ .

Résultat

$1$

Exemple 2

Calcule $\cos(60°)$ .

Méthode

Étape 1 : repérer les données.

Étape 2 : Valeur remarquable : $\cos 60°=\frac{1}{2}$ .

Étape 3 : conclure avec $\frac{1}{2}$ .

Résultat

$\frac{1}{2}$

À retenir

Illustrations

Illustrations interactives

Cercle trigonométrique (angles remarquables)

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