Fiche de cours · Maths-App

Second degré

Non commencé

Définitions

La fonction du second degré $f(x) = ax^2 + bx + c$ ( $a \neq 0$ ) a pour courbe une parabole. Si $a > 0$ , elle est tournée vers le haut ; si $a < 0$ , vers le bas.

Le sommet $S$ a pour abscisse $x_S = -\frac{b}{2a}$ . L'axe de symétrie est la droite verticale $x = x_S$ .

Pourquoi ça marche : les propriétés d’angles (droit, plats, correspondants avec parallèles) et les symétries conservent les distances utiles. En construction, règle et compas matérialisent ces égalités de longueurs.

Formules

$f(x) = ax^2 + bx + c$
$x_S = -\frac{b}{2a}, \quad y_S = f(x_S)$
$f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) \quad (\text{si racines } x_1, x_2)$
$\text{axe de symétrie : } x = x_S$

Exemples

Exemple 1

Si $f(x)=x^2-4x+3$ , calcule $f(2)$ .

Méthode

On lit l’énoncé : Si $f(x)=x^2-4x+3$ , calcule $f(2)$ . On mobilise la relation utile de la fiche (notamment $f(x) = ax^2 + bx + c$ ). On calcule soigneusement jusqu’à $-1$ , puis on vérifie l’ordre de grandeur. Pourquoi ça marche : le signe de $\Delta=b^2-4ac$ indique le nombre de racines réelles.

Résultat

$-1$

Exemple 2

L'axe de symétrie de $f(x)=x^2-6x+5$ est $x=\,?$

Méthode

Étape 1 : repérer les données.

Étape 2 : $x_S = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2} = 3$ .

Étape 3 : conclure avec $x=3$ . Pourquoi ça marche : le signe de $\Delta=b^2-4ac$ indique le nombre de racines réelles.

Résultat

$x=3$

À retenir

Illustrations

Illustrations interactives

Parabole $f(x)=x^2-4x+3$

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Racine carrée

Non commencé

Définitions

La fonction racine carrée $f(x)=\sqrt{x}$ est définie uniquement pour $x \geq 0$ . Elle est croissante sur $[0;+\infty[$ , et vérifie $\sqrt{x}\geq 0$ .

On a $\sqrt{a^2}=|a|$ et $(\sqrt{x})^2=x$ pour $x\geq 0$ . On simplifie souvent $\sqrt{a^2 b}=|a|\sqrt{b}$ .

Pourquoi ça marche : une fonction associe à chaque $x$ (du domaine) au plus une image $f(x)$ . Étudier variations, dérivée ou limites, c’est décrire comment $f(x)$ évolue ; suites et exponentielle/logarithme sont des modèles privilégiés au lycée.

Formules

$\mathcal{D}_f = [0; +\infty[$
$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab} \quad (a,b \geq 0)$
$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \quad (a \geq 0,\, b > 0)$
$(\sqrt{x})^2 = x \quad (x \geq 0)$

Exemples

Exemple 1

Si $f(x)=\sqrt{x}$ , calcule $f(16)$ .

Méthode

Étape 1 : repérer les données.

Étape 2 : $\sqrt{16}=4$ car $4^2=16$ et $4\geq 0$ .

Étape 3 : conclure avec $4$ .

Résultat

$4$

Exemple 2

Simplifie $\sqrt{50}$ .

Méthode

Étape 1 : repérer les données.

Étape 2 : $\sqrt{50}=\sqrt{25\times 2}=\sqrt{25}\sqrt{2}=5\sqrt{2}$ .

Étape 3 : conclure avec $5\sqrt{2}$ .

Résultat

$5\sqrt{2}$

À retenir

Inverse

Non commencé

Définitions

La fonction inverse $f(x)=\frac{1}{x}$ est définie sur $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ . Sa courbe est une hyperbole équilatère, avec deux branches.

Elle est décroissante sur $]0;+\infty[$ et sur $]-\infty;0[$ (séparément). Les axes sont des asymptotes.

Pourquoi ça marche : une fonction associe à chaque $x$ (du domaine) au plus une image $f(x)$ . Étudier variations, dérivée ou limites, c’est décrire comment $f(x)$ évolue ; suites et exponentielle/logarithme sont des modèles privilégiés au lycée.

Formules

$\mathcal{D}_f = \mathbb{R}\setminus\{0\}$
$f(x) = \frac{1}{x}, \quad f(x)\cdot x = 1$
$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty, \quad \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0$

Exemples

Exemple 1

Si $f(x)=\frac{1}{x}$ , calcule $f(2)$ .

Méthode

On lit l’énoncé : Si $f(x)=\frac{1}{x}$ , calcule $f(2)$ . On mobilise la relation utile de la fiche (notamment $\mathcal{D}_f = \mathbb{R}\setminus\{0\}$ ). On calcule soigneusement jusqu’à $0{,}5$ , puis on vérifie l’ordre de grandeur.

Résultat

$0{,}5$

Exemple 2

Sur quel intervalle $x\mapsto\frac{1}{x}$ est-elle décroissante parmi $]0;+\infty[$ ?

Méthode

Étape 1 : repérer les données.

Étape 2 : Sur $]0;+\infty[$ , si $0<a<b$ alors $\frac{1}{a}>\frac{1}{b}$ : la fonction est décroissante.

Étape 3 : conclure avec $]0;+\infty[$ .

Résultat

$]0;+\infty[$

À retenir

Variation

Non commencé

Définitions

Étudier les variations d'une fonction, c'est déterminer les intervalles où elle croît ou décroît. On s'appuie sur les fonctions de référence ( $x^2$ , $\sqrt{x}$ , $\frac{1}{x}$ , affines) et sur les compositions.

Une fonction croissante compose en conservant le sens ; une fonction décroissante inverse le sens de variation.

Pourquoi ça marche : une fonction associe à chaque $x$ (du domaine) au plus une image $f(x)$ . Étudier variations, dérivée ou limites, c’est décrire comment $f(x)$ évolue ; suites et exponentielle/logarithme sont des modèles privilégiés au lycée.

Formules

$x \mapsto x^2 \text{ décroissante sur } ]-\infty;0], \text{ croissante sur } [0;+\infty[$
$x \mapsto \sqrt{x} \text{ croissante sur } [0;+\infty[$
$x \mapsto \frac{1}{x} \text{ décroissante sur } ]0;+\infty[ \text{ et sur } ]-\infty;0[$
$\text{si } a > 0,\ x \mapsto ax+b \text{ croissante}$

Exemples

Exemple 1

La fonction $x\mapsto x^2$ est décroissante sur quel intervalle ?

Méthode

Étape 1 : repérer les données.

Étape 2 : Pour $a\leq b\leq 0$ , on a $a^2\geq b^2$ : $x\mapsto x^2$ est décroissante sur $]-\infty;0]$ .

Étape 3 : conclure avec $]-\infty;0]$ .

Résultat

$]-\infty;0]$

Exemple 2

Étudie $f(x)=(x-1)^2$ : où croît-elle ?

Méthode

Étape 1 : repérer les données.

Étape 2 : Sommet en $x=1$ . Comme pour $x^2$ , $f$ décroît sur $]-\infty;1]$ et croît sur $[1;+\infty[$ .

Étape 3 : conclure avec Croissante sur $[1;+\infty[$ .

Résultat

Croissante sur $[1;+\infty[$