Calcul littéral et équations

Fiches de cours et sous-notions liées à ce chapitre.

Pas assez de questions pour un entraînement ciblé sur cette notion.

Identités

Non commencé

Définitions

Les identités remarquables permettent de développer ou factoriser rapidement des expressions du second degré. On les utilise dès qu'apparaissent un carré d'une somme, un carré d'une différence, ou une différence de carrés.

Maîtriser ces trois formules est indispensable avant de résoudre une équation du second degré ou de factoriser un trinôme.

Pourquoi ça marche : une égalité reste vraie si l’on applique la même opération aux deux membres. Factoriser ou utiliser le discriminant transforme l’équation en produit / formule dont on lit les solutions.

Formules

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$

Exemples

Exemple 1

Développe $(2x+3)^2$ .

Méthode

Étape 1 : repérer les données.

Étape 2 : $(2x+3)^2 = (2x)^2 + 2\cdot(2x)\cdot 3 + 3^2 = 4x^2 + 12x + 9$ .

Étape 3 : conclure avec $4x^2 + 12x + 9$ .

Résultat

$4x^2 + 12x + 9$

Exemple 2

Factorise $x^2 - 16$ .

Méthode

Étape 1 : repérer les données.

Étape 2 : Différence de carrés : $x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x-4)(x+4)$ .

Étape 3 : conclure avec $(x-4)(x+4)$ .

Résultat

$(x-4)(x+4)$

À retenir

Équations du second degré

Non commencé

Définitions

Une équation du second degré s'écrit $ax^2 + bx + c = 0$ avec $a \neq 0$ . On la résout en factorisant (quand c'est possible) ou via le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ .

Le signe de $\Delta$ indique le nombre de solutions réelles : deux si $\Delta > 0$ , une double si $\Delta = 0$ , aucune si $\Delta < 0$ .

Pourquoi c’est utile : connaître les compléments à $10$ et les doubles permet de calculer mentalement sans tout recompter. Ce sont des automatismes du cycle 2, exigés pour la fluence.

Formules

$\Delta = b^2 - 4ac$
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \quad (\Delta > 0)$
$x = \frac{-b}{2a} \quad (\Delta = 0)$
$ax^2 + bx = x(ax + b) = 0$

Exemples

Exemple 1

Résous $x^2 - 5x = 0$ (solutions).

Méthode

Étape 1 : repérer les données.

Étape 2 : Factoriser : $x(x-5)=0$ . Un produit est nul si un facteur est nul : $x=0$ ou $x=5$ .

Étape 3 : conclure avec $x=0$ ou $x=5$ . Pourquoi ça marche : le signe de $\Delta=b^2-4ac$ indique le nombre de racines réelles.

Résultat

$x=0$ ou $x=5$

Exemple 2

Résous $x^2 - 5x + 6 = 0$ .

Méthode

Étape 1 : repérer les données.

Étape 2 : $\Delta = 25 - 24 = 1$ . Alors $x = \frac{5 \pm 1}{2}$ , d'où $x=3$ et $x=2$ .

Étape 3 : conclure avec $x=2$ et $x=3$ . Pourquoi ça marche : le signe de $\Delta=b^2-4ac$ indique le nombre de racines réelles.

Résultat

$x=2$ et $x=3$

À retenir

Systèmes

Non commencé

Définitions

Un système linéaire à deux inconnues relie deux équations du premier degré. On le résout par substitution (exprimer une inconnue puis remplacer) ou par combinaison (éliminer une inconnue).

Géométriquement, chaque équation est une droite : le couple solution est leur point d'intersection (s'il est unique).

Pourquoi distinguer : le périmètre mesure le contour (unité de longueur), l’aire la surface (unité²), le volume l’espace (unité³). Les formules découlent du découpage ou du produit « base × hauteur » (avec les bons coefficients).

Formules

$\begin{cases} ax + by = e \\ cx + dy = f \end{cases}$
$x = \frac{ed - bf}{ad - bc} \quad (ad - bc \neq 0)$
$\text{Addition : éliminer } y \text{ ou } x$

Exemples

Exemple 1

Résous $x+y=7$ et $x-y=3$ . Quelle est $x$ ?

Méthode

Additionner les deux équations : $2x=10$ , donc $x=5$ . Puis $y=7-5=2$ . On vérifie ensuite que le résultat $x=5$ (et $y=2$ ) est cohérent avec l’énoncé et les unités éventuelles.

Résultat

$x=5$ (et $y=2$ )

Exemple 2

Résous $x+2y=5$ et $2x-y=0$ . Quelle est $x$ ?

Méthode

Étape 1 : repérer les données.

Étape 2 : De la seconde : $y=2x$ . Remplacer : $x+2(2x)=5$ , soit $5x=5$ , donc $x=1$ , $y=2$ .

Étape 3 : conclure avec $x=1$ (et $y=2$ ).

Résultat

$x=1$ (et $y=2$ )