Cours · 3ème

Nombres et calculs

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Puissances

Non commencé

Définitions

L'écriture scientifique d'un nombre est $a \times 10^n$ avec $1 \leq a < 10$ .

Elle permet de comparer des ordres de grandeur et de simplifier les calculs sur les très grands ou très petits nombres.

Pourquoi ça marche : on compare d’abord la plus grande position (centaines avant dizaines, etc.). C’est la même idée que sur une droite graduée : plus on va à droite, plus le nombre est grand.

Formules

$a \times 10^n \quad (1 \leq a < 10)$
$4500 = 4{,}5 \times 10^3$
$0{,}00012 = 1{,}2 \times 10^{-4}$

Exemples

Exemple 1

Écris $4500$ en notation scientifique.

Méthode

On lit l’énoncé : Écris $4500$ en notation scientifique. On mobilise la relation utile de la fiche (notamment $a \times 10^n \quad (1 \leq a < 10)$ ). On calcule soigneusement jusqu’à $4{,}5 \times 10^3$ , puis on vérifie l’ordre de grandeur.

Résultat

$4{,}5 \times 10^3$

Exemple 2

Écris $0{,}00012$ .

Méthode

On lit l’énoncé : Écris $0{,}00012$ . On mobilise la relation utile de la fiche (notamment $a \times 10^n \quad (1 \leq a < 10)$ ). On calcule soigneusement jusqu’à $1{,}2 \times 10^{-4}$ , puis on vérifie l’ordre de grandeur.

Résultat

$1{,}2 \times 10^{-4}$

À retenir

Racines carrées

Non commencé

Définitions

La racine carrée $\sqrt{a}$ n'est définie que pour $a \geq 0$ . On simplifie $\sqrt{a^2 b} = |a|\sqrt{b}$ .

Pour résoudre $x^2 = k$ ( $k > 0$ ), on obtient $x = \sqrt{k}$ ou $x = -\sqrt{k}$ .

Pourquoi ça marche : une égalité reste vraie si l’on applique la même opération aux deux membres. Factoriser ou utiliser le discriminant transforme l’équation en produit / formule dont on lit les solutions.

Formules

$\sqrt{a^2} = |a|$
$x^2 = k \Rightarrow x = \sqrt{k} \text{ ou } x = -\sqrt{k}$
$\sqrt{72} = 6\sqrt{2}$

Exemples

Exemple 1

Résous $x^2 = 64$ : $x = 8$ ou $x = -8$ (solution positive demandée.

Méthode

On lit l’énoncé : Résous $x^2 = 64$ : $x = 8$ ou $x = -8$ (solution positive demandée. On mobilise la relation utile de la fiche (notamment $\sqrt{a^2} = |a|$ ). On calcule soigneusement jusqu’à $8$ , puis on vérifie l’ordre de grandeur.

Résultat

$8$

Exemple 2

Simplifie $\sqrt{72} = 6\sqrt{2}$ .

Méthode

On lit l’énoncé : Simplifie $\sqrt{72} = 6\sqrt{2}$ . On mobilise la relation utile de la fiche (notamment $\sqrt{a^2} = |a|$ ). On calcule soigneusement jusqu’à $\sqrt{72} = 6\sqrt{2}$ , puis on vérifie l’ordre de grandeur.

Résultat

$\sqrt{72} = 6\sqrt{2}$

À retenir

Calculs scientifiques

Non commencé

Définitions

La calculatrice scientifique permet d'effectuer des calculs avec puissances, racines et notation scientifique.

Il faut respecter les priorités et vérifier l'ordre de grandeur du résultat.

Pourquoi ça marche : les priorités (parenthèses, puis puissances, puis ×÷, puis +−) évitent l’ambiguïté. Les règles $a^m a^n=a^{m+n}$ et $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$ (avec conditions) découlent de la définition en produits.

Formules

$a \times 10^n \text{ sur calculatrice : notation ENG ou ×10}$
$\sqrt{\phantom{x}} \text{ et } x^2 \text{ : touches dédiées}$
$\text{Vérifier l'ordre de grandeur}$

Exemples

Exemple 1

Calcule $\frac{3{,}2 \times 10^5}{8 \times 10^2} = 4 \times 10^2 = 400$ .

Méthode

On lit l’énoncé : Calcule $\frac{3{,}2 \times 10^5}{8 \times 10^2} = 4 \times 10^2 = 400$ . On mobilise la relation utile de la fiche (notamment $a \times 10^n \text{ sur calculatrice : notation ENG ou ×10}$ ). On calcule soigneusement jusqu’à $\frac{3{,}2 \times 10^5}{8 \times 10^2} = 4 \times 10^2 = 400$ , puis on vérifie l’ordre de grandeur.

Résultat

$\frac{3{,}2 \times 10^5}{8 \times 10^2} = 4 \times 10^2 = 400$

Exemple 2

$\sqrt{2} \approx 1{,}414$ (arrondi au millième).

Méthode

On lit l’énoncé : $\sqrt{2} \approx 1{,}414$ (arrondi au millième). On mobilise la relation utile de la fiche (notamment $a \times 10^n \text{ sur calculatrice : notation ENG ou ×10}$ ). On calcule soigneusement jusqu’à $\sqrt{2} \approx 1{,}414$ , puis on vérifie l’ordre de grandeur.

Résultat

$\sqrt{2} \approx 1{,}414$