Cours · 3ème

Géométrie

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Trigonométrie

Non commencé

Définitions

La trigonométrie dans le cercle trigonométrique étend cosinus et sinus à tous les angles.

Dans un triangle rectangle, $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$ .

Pourquoi distinguer : le périmètre mesure le contour (unité de longueur), l’aire la surface (unité²), le volume l’espace (unité³). Les formules découlent du découpage ou du produit « base × hauteur » (avec les bons coefficients).

Formules

$\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$
$\sin(30°) = 0{,}5 \quad ; \quad \cos(60°) = 0{,}5$
$\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$

Exemples

Exemple 1

Dans un triangle rectangle, si $\sin(\alpha) = 0{,}6$ , alors.

Méthode

On lit l’énoncé : Dans un triangle rectangle, si $\sin(\alpha) = 0{,}6$ , alors. On mobilise la relation utile de la fiche (notamment $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$ ). On calcule soigneusement jusqu’à $\cos(\alpha) = 0{,}8$ , puis on vérifie l’ordre de grandeur.

Résultat

$\cos(\alpha) = 0{,}8$

Exemple 2

$\sin(30°) = 0{,}5$ .

Méthode

On lit l’énoncé : $\sin(30°) = 0{,}5$ . On mobilise la relation utile de la fiche (notamment $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$ ). On calcule soigneusement jusqu’à $\sin(30°) = 0{,}5$ , puis on vérifie l’ordre de grandeur.

Résultat

$\sin(30°) = 0{,}5$

À retenir

Illustrations

Illustrations interactives

Triangle rectangle et angle α

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Géométrie dans l'espace

Non commencé

Définitions

La géométrie dans l'espace étudie les solides : cube, pavé, prisme, cylindre, cône, sphère. On calcule volumes et aires.

Un plan coupe un solide selon une section plane.

Formules

$V_{\text{sphère}} = \frac{4}{3}\pi r^3$
$V_{\text{cône}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$
$A_{\text{sphère}} = 4\pi r^2$

Exemples

Exemple 1

Sphère de rayon $3$ cm : volume.

Méthode

On lit l’énoncé : Sphère de rayon $3$ cm : volume. On mobilise la relation utile de la fiche (notamment $V_{\text{sphère}} = \frac{4}{3}\pi r^3$ ). On calcule soigneusement jusqu’à $= 36\pi$ , puis on vérifie l’ordre de grandeur.

Résultat

$= 36\pi$

Exemple 2

Cône $r = 3$ , $h = 4$ : volume.

Méthode

On lit l’énoncé : Cône $r = 3$ , $h = 4$ : volume. On mobilise la relation utile de la fiche (notamment $V_{\text{sphère}} = \frac{4}{3}\pi r^3$ ). On calcule soigneusement jusqu’à $= 12\pi$ , puis on vérifie l’ordre de grandeur.

Résultat

$= 12\pi$

À retenir

Transformations

Non commencé

Définitions

Une transformation du plan déplace ou modifie une figure : translation, rotation, symétrie axiale, symétrie centrale, homothétie.

Une isométrie conserve les distances ; une homothétie les multiplie par un rapport $k$ .

Pourquoi ça marche : les propriétés d’angles (droit, plats, correspondants avec parallèles) et les symétries conservent les distances utiles. En construction, règle et compas matérialisent ces égalités de longueurs.

Formules

$\text{Translation : vecteur } \overrightarrow{AB}$
$\text{Homothétie de rapport } k : \text{ longueurs } \times |k|$
$\text{Rotation : centre et angle}$

Exemples

Exemple 1

Une rotation de $90°$ autour de.

Méthode

On lit l’énoncé : Une rotation de $90°$ autour de. On mobilise la relation utile de la fiche (notamment $\text{Translation : vecteur } \overrightarrow{AB}$ ). On calcule soigneusement jusqu’à $O$ , puis on vérifie l’ordre de grandeur.

Résultat

$O$

Exemple 2

Homothétie de rapport $2$ : aires multipliées par.

Méthode

On lit l’énoncé : Homothétie de rapport $2$ : aires multipliées par. On mobilise la relation utile de la fiche (notamment $\text{Translation : vecteur } \overrightarrow{AB}$ ). On calcule soigneusement jusqu’à $4$ , puis on vérifie l’ordre de grandeur.

Résultat

$4$