Nombres et calculs

Fiches de cours et sous-notions liées à ce chapitre.

Pas assez de questions pour un entraînement ciblé sur cette notion.

Puissances

Non commencé

Définitions

Les puissances d'un nombre réel obéissent aux règles de calcul. On distingue les puissances entières positives, nulles et négatives.

$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ pour $a \neq 0$ .

Pourquoi ça marche : les priorités (parenthèses, puis puissances, puis ×÷, puis +−) évitent l’ambiguïté. Les règles $a^m a^n=a^{m+n}$ et $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$ (avec conditions) découlent de la définition en produits.

Formules

$a^m \times a^n = a^{m+n}$
$(a^m)^n = a^{m \times n}$
$10^{-3} = 0{,}001$

Exemples

Exemple 1

Calcule $2^3 \times 2^{-1} = 2^2 = 4$ .

Méthode

On lit l’énoncé : Calcule $2^3 \times 2^{-1} = 2^2 = 4$ . On mobilise la relation utile de la fiche (notamment $a^m \times a^n = a^{m+n}$ ). On calcule soigneusement jusqu’à $2^3 \times 2^{-1} = 2^2 = 4$ , puis on vérifie l’ordre de grandeur.

Résultat

$2^3 \times 2^{-1} = 2^2 = 4$

Exemple 2

Écris $0{,}0001 = 10^{-4}$ .

Méthode

On lit l’énoncé : Écris $0{,}0001 = 10^{-4}$ . On mobilise la relation utile de la fiche (notamment $a^m \times a^n = a^{m+n}$ ). On calcule soigneusement jusqu’à $0{,}0001 = 10^{-4}$ , puis on vérifie l’ordre de grandeur.

Résultat

$0{,}0001 = 10^{-4}$

À retenir

Racines carrées

Non commencé

Définitions

La racine carrée d'un nombre positif $a$ est le nombre positif dont le carré vaut $a$ . On note $\sqrt{a}$ .

$\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$ pour $a, b \geq 0$ .

Formules

$(\sqrt{a})^2 = a \quad (a \geq 0)$
$\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$
$\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$

Exemples

Exemple 1

Calcule $\sqrt{49} = 7$ .

Méthode

On lit l’énoncé : Calcule $\sqrt{49} = 7$ . On mobilise la relation utile de la fiche (notamment $(\sqrt{a})^2 = a \quad (a \geq 0)$ ). On calcule soigneusement jusqu’à $\sqrt{49} = 7$ , puis on vérifie l’ordre de grandeur.

Résultat

$\sqrt{49} = 7$

Exemple 2

Simplifie $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ .

Méthode

On lit l’énoncé : Simplifie $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ . On mobilise la relation utile de la fiche (notamment $(\sqrt{a})^2 = a \quad (a \geq 0)$ ). On calcule soigneusement jusqu’à $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ , puis on vérifie l’ordre de grandeur.

Résultat

$\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$

À retenir

Fractions

Non commencé

Définitions

Les fractions peuvent contenir des lettres au numérateur ou au dénominateur. Pour simplifier, on factorise puis on simplifie.

Le dénominateur ne doit jamais s'annuler.

Pourquoi ça marche : une fraction $\frac{a}{b}$ désigne $a$ parts quand le tout est partagé en $b$ parts égales. Multiplier ou diviser haut et bas par le même nombre ne change pas la quantité représentée (fractions égales).

Formules

$\frac{ax}{a} = x \quad (a \neq 0)$
$\frac{6x}{3} = 2x$
$\text{Condition : dénominateur } \neq 0$

Exemples

Exemple 1

Simplifie $\frac{6x}{3} = 2x$ .

Méthode

On lit l’énoncé : Simplifie $\frac{6x}{3} = 2x$ . On mobilise la relation utile de la fiche (notamment $\frac{ax}{a} = x \quad (a \neq 0)$ ). On calcule soigneusement jusqu’à $\frac{6x}{3} = 2x$ , puis on vérifie l’ordre de grandeur. Pourquoi ça marche : diviser haut et bas par le même nombre non nul conserve la valeur de la fraction.

Résultat

$\frac{6x}{3} = 2x$

Exemple 2

Simplifie $\frac{x^2 - 4}{x - 2} = x + 2$ (pour.

Méthode

On lit l’énoncé : Simplifie $\frac{x^2 - 4}{x - 2} = x + 2$ (pour. On mobilise la relation utile de la fiche (notamment $\frac{ax}{a} = x \quad (a \neq 0)$ ). On calcule soigneusement jusqu’à $x \neq 2$ , puis on vérifie l’ordre de grandeur. Pourquoi ça marche : diviser haut et bas par le même nombre non nul conserve la valeur de la fraction.

Résultat

$x \neq 2$