Cours · 4ème

Géométrie

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Théorème de Thalès

Non commencé

Définitions

Le théorème de Thalès concerne des droites parallèles coupant deux sécantes.

Si $(BC) \parallel (DE)$ dans un triangle, alors $\frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} = \frac{BC}{DE}$ .

Pourquoi distinguer : le périmètre mesure le contour (unité de longueur), l’aire la surface (unité²), le volume l’espace (unité³). Les formules découlent du découpage ou du produit « base × hauteur » (avec les bons coefficients).

Formules

$(BC) \parallel (DE) \Rightarrow \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} = \frac{BC}{DE}$
$\text{Réciproque : si les rapports sont égaux, les droites sont parallèles}$

Exemples

Exemple 1

Si $AB = 4$ , $AD = 6$ , $BC = 3$ , alors.

Méthode

On lit l’énoncé : Si $AB = 4$ , $AD = 6$ , $BC = 3$ , alors. On mobilise la relation utile de la fiche (notamment $(BC) \parallel (DE) \Rightarrow \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} = \frac{BC}{DE}$ ). On calcule soigneusement jusqu’à $DE = \frac{3 \times 6}{4} = 4{,}5$ , puis on vérifie l’ordre de grandeur.

Résultat

$DE = \frac{3 \times 6}{4} = 4{,}5$

Exemple 2

Thalès permet de calculer des longueurs inaccessible.

Méthode

On lit l’énoncé : Thalès permet de calculer des longueurs inaccessible. On mobilise la relation utile de la fiche (notamment $(BC) \parallel (DE) \Rightarrow \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} = \frac{BC}{DE}$ ). On calcule soigneusement jusqu’à le résultat numérique obtenu, puis on vérifie l’ordre de grandeur.

Résultat

le résultat numérique obtenu

À retenir

Illustrations

Illustrations interactives

Configuration de Thalès

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Trigonométrie

Non commencé

Définitions

Dans un triangle rectangle, le cosinus, sinus et tangente d'un angle aigu relient les côtés.

On les utilise pour calculer des longueurs ou des angles.

Formules

$\cos(\alpha) = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$
$\sin(\alpha) = \frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}$
$\tan(\alpha) = \frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$

Exemples

Exemple 1

Triangle rectangle : $\cos(60°) = 0{,}5$ .

Méthode

On lit l’énoncé : Triangle rectangle : $\cos(60°) = 0{,}5$ . On mobilise la relation utile de la fiche (notamment $\cos(\alpha) = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$ ). On calcule soigneusement jusqu’à $\cos(60°) = 0{,}5$ , puis on vérifie l’ordre de grandeur.

Résultat

$\cos(60°) = 0{,}5$

Exemple 2

Si opposé $= 3$ et adjacent $= 4$ , alors.

Méthode

On lit l’énoncé : Si opposé $= 3$ et adjacent $= 4$ , alors. On mobilise la relation utile de la fiche (notamment $\cos(\alpha) = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$ ). On calcule soigneusement jusqu’à $\tan(\alpha) = \frac{3}{4}$ , puis on vérifie l’ordre de grandeur.

Résultat

$\tan(\alpha) = \frac{3}{4}$

À retenir

Illustrations

Illustrations interactives

Triangle rectangle pour la trigonométrie

Chargement du tableau…

Vecteurs

Non commencé

Définitions

Un vecteur est défini par une direction, un sens et une norme (longueur). Deux vecteurs sont égaux s'ils ont même direction, même sens et même norme.

On note $\overrightarrow{AB}$ le vecteur de $A$ vers $B$ .

Pourquoi ça marche : un vecteur encode un déplacement (direction, sens, longueur). En coordonnées, addition et norme deviennent du calcul ; le produit scalaire détecte l’orthogonalité via $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$ .

Formules

$\|\overrightarrow{AB}\| = AB$
$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$
$\text{Relation de Chasles}$

Exemples

Exemple 1

Parallélogramme $ABCD$ .

Méthode

On lit l’énoncé : Parallélogramme $ABCD$ . On mobilise la relation utile de la fiche (notamment $\|\overrightarrow{AB}\| = AB$ ). On calcule soigneusement jusqu’à $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ , puis on vérifie l’ordre de grandeur.

Résultat

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

Exemple 2

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ (relation de Chasles).

Méthode

On lit l’énoncé : $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ (relation de Chasles). On mobilise la relation utile de la fiche (notamment $\|\overrightarrow{AB}\| = AB$ ). On calcule soigneusement jusqu’à $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ , puis on vérifie l’ordre de grandeur.

Résultat

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$