Cours · 4ème

Proportionnalité et statistiques

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Pourcentages

Non commencé

Définitions

Les pourcentages servent à comparer des proportions et calculer des augmentations ou des réductions.

Augmenter de $t\%$ , c'est multiplier par $1 + \frac{t}{100}$ .

Pourquoi ça marche : on compare d’abord la plus grande position (centaines avant dizaines, etc.). C’est la même idée que sur une droite graduée : plus on va à droite, plus le nombre est grand.

Formules

$p\% \text{ de } Q = \frac{p}{100} \times Q$
$\text{Augmentation de } t\% : \times \left(1 + \frac{t}{100}\right)$

Exemples

Exemple 1

Un prix de $50$ € augmente de $20\%$ : nouveau prix.

Méthode

On lit l’énoncé : Un prix de $50$ € augmente de $20\%$ : nouveau prix. On mobilise la relation utile de la fiche (notamment $p\% \text{ de } Q = \frac{p}{100} \times Q$ ). On calcule soigneusement jusqu’à $= 60$ , puis on vérifie l’ordre de grandeur. Pourquoi ça marche : $p\%$ de $n$ vaut $n\times\frac{p}{100}$ .

Résultat

$= 60$

Exemple 2

$15\%$ de.

Méthode

On lit l’énoncé : $15\%$ de. On mobilise la relation utile de la fiche (notamment $p\% \text{ de } Q = \frac{p}{100} \times Q$ ). On calcule soigneusement jusqu’à $240 = 36$ , puis on vérifie l’ordre de grandeur. Pourquoi ça marche : $p\%$ de $n$ vaut $n\times\frac{p}{100}$ .

Résultat

$240 = 36$

À retenir

Statistiques

Non commencé

Définitions

Les statistiques organisent et résument des données. La moyenne est la somme des valeurs divisée par l'effectif.

La médiane partage la série ordonnée en deux groupes de même effectif.

Pourquoi ça marche : diviser, c’est partager en parts égales (ou chercher combien de fois le diviseur « entre » dans le dividende). Le reste est ce qui reste une fois les parts complètes formées ; il est toujours plus petit que le diviseur.

Formules

$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}$
$\text{Médiane : valeur centrale}$

Exemples

Exemple 1

Notes $12$ , $14$ , $16$ : moyenne.

Méthode

On lit l’énoncé : Notes $12$ , $14$ , $16$ : moyenne. On mobilise la relation utile de la fiche (notamment $\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}$ ). On calcule soigneusement jusqu’à $= 14$ , puis on vérifie l’ordre de grandeur.

Résultat

$= 14$

Exemple 2

Série $3$ , $5$ , $7$ , $9$ , $11$ : médiane.

Méthode

On lit l’énoncé : Série $3$ , $5$ , $7$ , $9$ , $11$ : médiane. On mobilise la relation utile de la fiche (notamment $\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}$ ). On calcule soigneusement jusqu’à $= 7$ , puis on vérifie l’ordre de grandeur.

Résultat

$= 7$

À retenir

Probabilités

Non commencé

Définitions

La probabilité d'un événement mesure sa chance de se produire, entre $0$ (impossible) et $1$ (certain).

Dans une expérience équiprobable : $P(A) = \frac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}$ .

Pourquoi ça marche : en situation de proportionnalité, le rapport (ou le coefficient) reste constant. Multiplier une grandeur par $k$ multiplie l’autre par $k$ ; les tableaux et échelles exploitent cette invariance.

Formules

$0 \leq P(A) \leq 1$
$P(A) = \frac{\text{cas favorables}}{\text{cas possibles}}$
$P(\text{non } A) = 1 - P(A)$

Exemples

Exemple 1

Dé équitable : $P(\text{obtenir 6}) = \frac{1}{6}$ .

Méthode

On lit l’énoncé : Dé équitable : $P(\text{obtenir 6}) = \frac{1}{6}$ . On mobilise la relation utile de la fiche (notamment $0 \leq P(A) \leq 1$ ). On calcule soigneusement jusqu’à $P(\text{obtenir 6}) = \frac{1}{6}$ , puis on vérifie l’ordre de grandeur.

Résultat

$P(\text{obtenir 6}) = \frac{1}{6}$

Exemple 2

Urne avec $3$ rouges et $7$ bleues.

Méthode

On lit l’énoncé : Urne avec $3$ rouges et $7$ bleues. On mobilise la relation utile de la fiche (notamment $0 \leq P(A) \leq 1$ ). On calcule soigneusement jusqu’à $P(\text{rouge}) = \frac{3}{10}$ , puis on vérifie l’ordre de grandeur.

Résultat

$P(\text{rouge}) = \frac{3}{10}$