Cours · 4ème

Fonctions

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Image et antécédent

Non commencé

Définitions

Une fonction associe à chaque nombre $x$ d'un ensemble de départ au plus une image $f(x)$ .

Un antécédent de $y$ est un nombre $x$ tel que $f(x) = y$ .

Pourquoi ça marche : une fonction associe à chaque $x$ (du domaine) au plus une image $f(x)$ . Étudier variations, dérivée ou limites, c’est décrire comment $f(x)$ évolue ; suites et exponentielle/logarithme sont des modèles privilégiés au lycée.

Formules

$f : x \mapsto f(x)$
$\text{Image de } 2 \text{ par } f \text{ : } f(2)$

Exemples

Exemple 1

Si $f(x) = 2x + 1$ , l'image de $3$ .

Méthode

On lit l’énoncé : Si $f(x) = 2x + 1$ , l'image de $3$ . On mobilise la relation utile de la fiche (notamment $f : x \mapsto f(x)$ ). On calcule soigneusement jusqu’à $f(3) = 7$ , puis on vérifie l’ordre de grandeur.

Résultat

$f(3) = 7$

Exemple 2

Si $f(x) = x^2$ , un antécédent de $9$ est $3$ (et aussi.

Méthode

On lit l’énoncé : Si $f(x) = x^2$ , un antécédent de $9$ est $3$ (et aussi. On mobilise la relation utile de la fiche (notamment $f : x \mapsto f(x)$ ). On calcule soigneusement jusqu’à $-3$ , puis on vérifie l’ordre de grandeur.

Résultat

$-3$

À retenir

Fonctions linéaires

Non commencé

Définitions

Une fonction linéaire est de la forme $f(x) = ax$ (graphique : droite passant par l'origine).

Une fonction affine est $f(x) = ax + b$ ( $a$ : coefficient directeur, $b$ : ordonnée à l'origine).

Pourquoi distinguer : le périmètre mesure le contour (unité de longueur), l’aire la surface (unité²), le volume l’espace (unité³). Les formules découlent du découpage ou du produit « base × hauteur » (avec les bons coefficients).

Formules

$f(x) = ax \quad \text{(linéaire)}$
$f(x) = ax + b \quad \text{(affine)}$
$\text{Pente } a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$

Exemples

Exemple 1

$f(x) = 3x$ est linéaire.

Méthode

On lit l’énoncé : $f(x) = 3x$ est linéaire. On mobilise la relation utile de la fiche (notamment $f(x) = ax \quad \text{(linéaire)}$ ). On calcule soigneusement jusqu’à $f(2) = 6$ , puis on vérifie l’ordre de grandeur.

Résultat

$f(2) = 6$

Exemple 2

$f(x) = 2x - 1$ est affine.

Méthode

On lit l’énoncé : $f(x) = 2x - 1$ est affine. On mobilise la relation utile de la fiche (notamment $f(x) = ax \quad \text{(linéaire)}$ ). On calcule soigneusement jusqu’à $f(0) = -1$ , puis on vérifie l’ordre de grandeur.

Résultat

$f(0) = -1$

À retenir

Représentation graphique

Non commencé

Définitions

La représentation graphique d'une fonction affine est une droite. Pour la tracer, deux points suffisent.

On lit l'image ou l'antécédent sur le graphique.

Pourquoi ça marche : les propriétés d’angles (droit, plats, correspondants avec parallèles) et les symétries conservent les distances utiles. En construction, règle et compas matérialisent ces égalités de longueurs.

Formules

$f(x) = ax + b \Rightarrow \text{ droite de pente } a$
$\text{Ordonnée à l'origine : } (0 ; b)$

Exemples

Exemple 1

La droite de $f(x) = 2x - 1$ passe par $(0 ; -1)$ et.

Méthode

On lit l’énoncé : La droite de $f(x) = 2x - 1$ passe par $(0 ; -1)$ et. On mobilise la relation utile de la fiche (notamment $f(x) = ax + b \Rightarrow \text{ droite de pente } a$ ). On calcule soigneusement jusqu’à $(1 ; 1)$ , puis on vérifie l’ordre de grandeur.

Résultat

$(1 ; 1)$

Exemple 2

Sur le graphique, l'antécédent de $5$ pour $f(x) = x + 2$ .

Méthode

On lit l’énoncé : Sur le graphique, l'antécédent de $5$ pour $f(x) = x + 2$ . On mobilise la relation utile de la fiche (notamment $f(x) = ax + b \Rightarrow \text{ droite de pente } a$ ). On calcule soigneusement jusqu’à $3$ , puis on vérifie l’ordre de grandeur.

Résultat

$3$

À retenir

Illustrations

Illustrations interactives

Droite représentative d'une fonction affine

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