Cours · 4ème

Calcul littéral

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Développer et factoriser

Non commencé

Définitions

Développer transforme un produit en somme (distributivité).

Factoriser fait l'inverse : écrire une somme sous forme de produit en mettant un facteur commun en évidence.

Pourquoi étudier cette notion : elle sert de brique pour les calculs et problèmes du niveau. Relier chaque formule au sens (que mesure-t-on ? que conserve-t-on ?) évite les applications mécaniques et les erreurs de cadre.

Formules

$k(a + b) = ka + kb$
$ka + kb = k(a + b)$
$(x + 3)(x + 2) = x^2 + 5x + 6$

Exemples

Exemple 1

Développe $(x + 3)(x + 2) = x^2 + 5x + 6$ .

Méthode

On lit l’énoncé : Développe $(x + 3)(x + 2) = x^2 + 5x + 6$ . On mobilise la relation utile de la fiche (notamment $k(a + b) = ka + kb$ ). On calcule soigneusement jusqu’à $(x + 3)(x + 2) = x^2 + 5x + 6$ , puis on vérifie l’ordre de grandeur.

Résultat

$(x + 3)(x + 2) = x^2 + 5x + 6$

Exemple 2

Factorise $6x + 9 = 3(2x + 3)$ .

Méthode

On lit l’énoncé : Factorise $6x + 9 = 3(2x + 3)$ . On mobilise la relation utile de la fiche (notamment $k(a + b) = ka + kb$ ). On calcule soigneusement jusqu’à $6x + 9 = 3(2x + 3)$ , puis on vérifie l’ordre de grandeur.

Résultat

$6x + 9 = 3(2x + 3)$

À retenir

Identités remarquables

Non commencé

Définitions

Les identités remarquables sont des formules de développement ou factorisation fréquentes.

Elles permettent de calculer rapidement des carrés et des différences de carrés.

Pourquoi ça marche : les signes et la distributivité ( $k(a+b)=ka+kb$ ) permettent de transformer une expression sans changer sa valeur. Factoriser, c’est l’opération inverse du développement.

Formules

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$

Exemples

Exemple 1

Développe $(x + 4)^2 = x^2 + 8x + 16$ .

Méthode

On lit l’énoncé : Développe $(x + 4)^2 = x^2 + 8x + 16$ . On mobilise la relation utile de la fiche (notamment $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ ). On calcule soigneusement jusqu’à $(x + 4)^2 = x^2 + 8x + 16$ , puis on vérifie l’ordre de grandeur.

Résultat

$(x + 4)^2 = x^2 + 8x + 16$

Exemple 2

Factorise $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$ .

Méthode

On lit l’énoncé : Factorise $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$ . On mobilise la relation utile de la fiche (notamment $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ ). On calcule soigneusement jusqu’à $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$ , puis on vérifie l’ordre de grandeur.

Résultat

$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$

À retenir

Équations

Non commencé

Définitions

Une équation du premier degré est une égalité contenant une inconnue $x$ à la puissance $1$ .

Pour la résoudre, on isole $x$ en effectuant la même opération des deux côtés.

Pourquoi ça marche : une égalité reste vraie si l’on applique la même opération aux deux membres. Factoriser ou utiliser le discriminant transforme l’équation en produit / formule dont on lit les solutions.

Formules

$ax + b = c \Rightarrow x = \frac{c - b}{a}$
$2x + 5 = 17 \Rightarrow x = 6$

Exemples

Exemple 1

Résous $2x + 5 = 17$ .

Méthode

On lit l’énoncé : Résous $2x + 5 = 17$ . On mobilise la relation utile de la fiche (notamment $ax + b = c \Rightarrow x = \frac{c - b}{a}$ ). On calcule soigneusement jusqu’à $x = 6$ , puis on vérifie l’ordre de grandeur.

Résultat

$x = 6$

Exemple 2

Résous $3x - 7 = 11$ .

Méthode

On lit l’énoncé : Résous $3x - 7 = 11$ . On mobilise la relation utile de la fiche (notamment $ax + b = c \Rightarrow x = \frac{c - b}{a}$ ). On calcule soigneusement jusqu’à $x = 6$ , puis on vérifie l’ordre de grandeur.

Résultat

$x = 6$