Cours · 5ème

Proportionnalité

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Pourcentages

Non commencé

Définitions

Un pourcentage exprime une proportion sur $100$ . $25\%$ signifie $\frac{25}{100} = 0{,}25$ .

Pour calculer $p\%$ d'une quantité, on multiplie par $\frac{p}{100}$ .

Pourquoi ça marche : « $p\%$ » signifie « $p$ pour $100$ », donc $p\% = \frac{p}{100}$ . Prendre $p\%$ d’une quantité, c’est multiplier par $\frac{p}{100}$ . Les évolutions et intérêts composés enchaînent ces facteurs.

Formules

$p\% \text{ de } Q = \frac{p}{100} \times Q$
$25\% \text{ de } 80 = 20$

Exemples

Exemple 1

Calcule $25\%$ de.

Méthode

On lit l’énoncé : Calcule $25\%$ de. On mobilise la relation utile de la fiche (notamment $p\% \text{ de } Q = \frac{p}{100} \times Q$ ). On calcule soigneusement jusqu’à $80 = 20$ , puis on vérifie l’ordre de grandeur. Pourquoi ça marche : $p\%$ de $n$ vaut $n\times\frac{p}{100}$ .

Résultat

$80 = 20$

Exemple 2

Un article à $60$ € avec $10\%$ de réduction coûte.

Méthode

On lit l’énoncé : Un article à $60$ € avec $10\%$ de réduction coûte. On mobilise la relation utile de la fiche (notamment $p\% \text{ de } Q = \frac{p}{100} \times Q$ ). On calcule soigneusement jusqu’à $54$ , puis on vérifie l’ordre de grandeur. Pourquoi ça marche : $p\%$ de $n$ vaut $n\times\frac{p}{100}$ .

Résultat

$54$

À retenir

Échelles

Non commencé

Définitions

Une échelle indique le rapport entre une distance sur un plan et la distance réelle.

Échelle $\frac{1}{1000}$ signifie $1$ cm sur le plan $=$ $1000$ cm en réalité ( $10$ m).

Pourquoi ça marche : en situation de proportionnalité, le rapport (ou le coefficient) reste constant. Multiplier une grandeur par $k$ multiplie l’autre par $k$ ; les tableaux et échelles exploitent cette invariance.

Formules

$\text{Échelle} = \frac{\text{distance sur le plan}}{\text{distance réelle}}$
$3 \text{ cm sur plan à } \frac{1}{500} = 15 \text{ m en réalité}$

Exemples

Exemple 1

Sur un plan à l'échelle $\frac{1}{200}$ , $4$ cm représentent $800$ cm.

Méthode

On lit l’énoncé : Sur un plan à l'échelle $\frac{1}{200}$ , $4$ cm représentent $800$ cm. On mobilise la relation utile de la fiche (notamment $\text{Échelle} = \frac{\text{distance sur le plan}}{\text{distance réelle}}$ ). On calcule soigneusement jusqu’à $= 8$ , puis on vérifie l’ordre de grandeur.

Résultat

$= 8$

Exemple 2

$2$ cm à $\frac{1}{1000}$ : distance réelle $= 2000$ cm.

Méthode

On lit l’énoncé : $2$ cm à $\frac{1}{1000}$ : distance réelle $= 2000$ cm. On mobilise la relation utile de la fiche (notamment $\text{Échelle} = \frac{\text{distance sur le plan}}{\text{distance réelle}}$ ). On calcule soigneusement jusqu’à $= 20$ , puis on vérifie l’ordre de grandeur.

Résultat

$= 20$

À retenir

Vitesse

Non commencé

Définitions

La vitesse moyenne relie distance, temps et vitesse.

Si un mobile parcourt une distance $d$ en un temps $t$ , sa vitesse moyenne est $v = \frac{d}{t}$ .

Formules

$v = \frac{d}{t}$
$d = v \times t$
$t = \frac{d}{v}$

Exemples

Exemple 1

Un cycliste parcourt $30$ km en $2$ h : vitesse.

Méthode

On lit l’énoncé : Un cycliste parcourt $30$ km en $2$ h : vitesse. On mobilise la relation utile de la fiche (notamment $v = \frac{d}{t}$ ). On calcule soigneusement jusqu’à $= 15$ , puis on vérifie l’ordre de grandeur.

Résultat

$= 15$

Exemple 2

À $60$ km/h pendant $1{,}5$ h : distance.

Méthode

On lit l’énoncé : À $60$ km/h pendant $1{,}5$ h : distance. On mobilise la relation utile de la fiche (notamment $v = \frac{d}{t}$ ). On calcule soigneusement jusqu’à $= 90$ , puis on vérifie l’ordre de grandeur.

Résultat

$= 90$