Puissances

Fiches de cours et sous-notions liées à ce chapitre.

Pas assez de questions pour un entraînement ciblé sur cette notion.

Définition

Non commencé

Définitions

Pour un entier $a$ non nul et un entier positif $n$ , $a^n$ est le produit de $n$ facteurs égaux à $a$ . Par convention, $a^0 = 1$ .

Une puissance de $10$ déplace la virgule dans les décimaux.

Pourquoi ça marche : un décimal n’est qu’une façon d’écrire une fraction de dénominateur $10$ , $100$ , $1000$ … La virgule sépare la partie entière des dixièmes, centièmes, etc. — toujours la valeur de position.

Formules

$a^n = \underbrace{a \times \cdots \times a}_{n \text{ fois}}$
$a^0 = 1 \quad (a \neq 0)$
$10^3 = 1000$

Exemples

Exemple 1

Calcule $2^4 = 16$ .

Méthode

On lit l’énoncé : Calcule $2^4 = 16$ . On mobilise la relation utile de la fiche (notamment $a^n = \underbrace{a \times \cdots \times a}_{n \text{ fois}}$ ). On calcule soigneusement jusqu’à $2^4 = 16$ , puis on vérifie l’ordre de grandeur.

Résultat

$2^4 = 16$

Exemple 2

Calcule $10^{-2} = 0{,}01$ .

Méthode

On lit l’énoncé : Calcule $10^{-2} = 0{,}01$ . On mobilise la relation utile de la fiche (notamment $a^n = \underbrace{a \times \cdots \times a}_{n \text{ fois}}$ ). On calcule soigneusement jusqu’à $10^{-2} = 0{,}01$ , puis on vérifie l’ordre de grandeur.

Résultat

$10^{-2} = 0{,}01$

À retenir

Règles de calcul

Non commencé

Définitions

Pour multiplier des puissances de même base, on additionne les exposants. Pour diviser, on soustrait.

Pour élever une puissance à une puissance, on multiplie les exposants.

Pourquoi ça marche : on calcule colonne par colonne (même position) parce que $10$ unités font $1$ dizaine. La retenue ou l’emprunt, c’est exactement ce changement d’unité.

Formules

$a^m \times a^n = a^{m+n}$
$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
$(a^m)^n = a^{m \times n}$

Exemples

Exemple 1

Calcule $2^3 \times 2^4 = 2^7 = 128$ .

Méthode

On lit l’énoncé : Calcule $2^3 \times 2^4 = 2^7 = 128$ . On mobilise la relation utile de la fiche (notamment $a^m \times a^n = a^{m+n}$ ). On calcule soigneusement jusqu’à $2^3 \times 2^4 = 2^7 = 128$ , puis on vérifie l’ordre de grandeur.

Résultat

$2^3 \times 2^4 = 2^7 = 128$

Exemple 2

Calcule $\frac{5^6}{5^2} = 5^4 = 625$ .

Méthode

On lit l’énoncé : Calcule $\frac{5^6}{5^2} = 5^4 = 625$ . On mobilise la relation utile de la fiche (notamment $a^m \times a^n = a^{m+n}$ ). On calcule soigneusement jusqu’à $\frac{5^6}{5^2} = 5^4 = 625$ , puis on vérifie l’ordre de grandeur.

Résultat

$\frac{5^6}{5^2} = 5^4 = 625$