Fiche de cours · Maths-App

Fractions égales

Non commencé

Définitions

Deux fractions sont égales si on peut passer de l'une à l'autre en multipliant ou divisant numérateur et dénominateur par le même nombre non nul.

Simplifier une fraction, c'est la rendre irréductible en divisant par le PGCD.

Pourquoi ça marche : une fraction $\frac{a}{b}$ désigne $a$ parts quand le tout est partagé en $b$ parts égales. Multiplier ou diviser haut et bas par le même nombre ne change pas la quantité représentée (fractions égales).

Formules

$\frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k} \quad (k \neq 0)$
$\frac{4}{8} = \frac{1}{2} \quad ; \quad \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

Exemples

Exemple 1

Simplifie $\frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ .

Méthode

Étape 1 : repérer les données.

Étape 2 : Diviser numérateur et dénominateur par $4$ : $\frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ .

Étape 3 : conclure avec $\frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ . Pourquoi ça marche : diviser haut et bas par le même nombre non nul conserve la valeur de la fraction.

Résultat

$\frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

Exemple 2

Simplifie $\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ .

Méthode

Étape 1 : repérer les données.

Étape 2 : Diviser par $3$ : $\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ .

Étape 3 : conclure avec $\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ . Pourquoi ça marche : diviser haut et bas par le même nombre non nul conserve la valeur de la fraction.

Résultat

$\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

À retenir

Addition/soustraction

Non commencé

Définitions

Pour additionner ou soustraire des fractions de même dénominateur, on additionne ou soustrait les numérateurs et on garde le dénominateur.

Si les dénominateurs diffèrent, on les réduit au même dénominateur d'abord.

Pourquoi ça marche : une fraction $\frac{a}{b}$ désigne $a$ parts quand le tout est partagé en $b$ parts égales. Multiplier ou diviser haut et bas par le même nombre ne change pas la quantité représentée (fractions égales).

Formules

$\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}$
$\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a - b}{c}$
$\frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{3}{4}$

Exemples

Exemple 1

Calcule $\frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{3}{4}$ .

Méthode

Étape 1 : repérer les données.

Étape 2 : Même dénominateur $4$ : $\frac{1+2}{4} = \frac{3}{4}$ .

Étape 3 : conclure avec $\frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{3}{4}$ .

Résultat

$\frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{3}{4}$

Exemple 2

Calcule $\frac{3}{5} - \frac{1}{5} = \frac{2}{5}$ .

Méthode

Étape 1 : repérer les données.

Étape 2 : Même dénominateur $5$ : $\frac{3-1}{5} = \frac{2}{5}$ .

Étape 3 : conclure avec $\frac{3}{5} - \frac{1}{5} = \frac{2}{5}$ .

Résultat

$\frac{3}{5} - \frac{1}{5} = \frac{2}{5}$

À retenir

Multiplication par entier

Non commencé

Définitions

Multiplier une fraction par un entier, c'est multiplier le numérateur par cet entier (ou diviser le dénominateur).

Le résultat reste une fraction qu'on peut simplifier.

Pourquoi ça marche : une fraction $\frac{a}{b}$ désigne $a$ parts quand le tout est partagé en $b$ parts égales. Multiplier ou diviser haut et bas par le même nombre ne change pas la quantité représentée (fractions égales).

Formules

$k \times \frac{a}{b} = \frac{k \times a}{b}$
$3 \times \frac{2}{7} = \frac{6}{7}$

Exemples

Exemple 1

Calcule $3 \times \frac{2}{7} = \frac{6}{7}$ .

Méthode

On lit l’énoncé : Calcule $3 \times \frac{2}{7} = \frac{6}{7}$ . On mobilise la relation utile de la fiche (notamment $k \times \frac{a}{b} = \frac{k \times a}{b}$ ). On calcule soigneusement jusqu’à $3 \times \frac{2}{7} = \frac{6}{7}$ , puis on vérifie l’ordre de grandeur.

Résultat

$3 \times \frac{2}{7} = \frac{6}{7}$

Exemple 2

Calcule $5 \times \frac{3}{4} = \frac{15}{4} = 3{,}75$ .

Méthode

On lit l’énoncé : Calcule $5 \times \frac{3}{4} = \frac{15}{4} = 3{,}75$ . On mobilise la relation utile de la fiche (notamment $k \times \frac{a}{b} = \frac{k \times a}{b}$ ). On calcule soigneusement jusqu’à $5 \times \frac{3}{4} = \frac{15}{4} = 3{,}75$ , puis on vérifie l’ordre de grandeur.

Résultat

$5 \times \frac{3}{4} = \frac{15}{4} = 3{,}75$

À retenir

Fraction d'une quantité

Non commencé

Définitions

Prendre une fraction d'une quantité, c'est multiplier cette quantité par la fraction.

Par exemple, $\frac{2}{3}$ de $60$ signifie $\frac{2}{3} \times 60$ .

Pourquoi ça marche : une fraction $\frac{a}{b}$ désigne $a$ parts quand le tout est partagé en $b$ parts égales. Multiplier ou diviser haut et bas par le même nombre ne change pas la quantité représentée (fractions égales).

Formules

$\frac{a}{b} \text{ de } Q = \frac{a}{b} \times Q$
$\frac{3}{4} \text{ de } 80 = 60$

Exemples

Exemple 1

Calcule $\frac{3}{4}$ de.

Méthode

On lit l’énoncé : Calcule $\frac{3}{4}$ de. On mobilise la relation utile de la fiche (notamment $\frac{a}{b} \text{ de } Q = \frac{a}{b} \times Q$ ). On calcule soigneusement jusqu’à $80 = 60$ , puis on vérifie l’ordre de grandeur.

Résultat

$80 = 60$

Exemple 2

Calcule $\frac{2}{5}$ de.

Méthode

On lit l’énoncé : Calcule $\frac{2}{5}$ de. On mobilise la relation utile de la fiche (notamment $\frac{a}{b} \text{ de } Q = \frac{a}{b} \times Q$ ). On calcule soigneusement jusqu’à $35 = 14$ , puis on vérifie l’ordre de grandeur.

Résultat

$35 = 14$