Nombres entiers et décimaux

Fiches de cours et sous-notions liées à ce chapitre.

Pas assez de questions pour un entraînement ciblé sur cette notion.

Opérations

Non commencé

Définitions

En 6ème, on consolide les quatre opérations sur les nombres décimaux. On aligne les virgules pour additionner ou soustraire.

Pour multiplier, on multiplie comme avec des entiers puis on place la virgule. Les priorités de calcul s'appliquent : d'abord les parenthèses, puis × et ÷, enfin + et −.

Pourquoi ça marche : on calcule colonne par colonne (même position) parce que $10$ unités font $1$ dizaine. La retenue ou l’emprunt, c’est exactement ce changement d’unité.

Formules

$a + b = b + a \quad \text{(commutativité)}$
$\text{Priorités : parenthèses} \rightarrow \times, \div \rightarrow +, -$
$3{,}5 + 2{,}4 \times 5 = 3{,}5 + 12 = 15{,}5$

Exemples

Exemple 1

Calcule $45{,}8 + 27{,}6 = 73{,}4$ .

Méthode

Étape 1 : repérer les données.

Étape 2 : Aligner les virgules : $45{,}8 + 27{,}6 = 73{,}4$ .

Étape 3 : conclure avec $45{,}8 + 27{,}6 = 73{,}4$ .

Résultat

$45{,}8 + 27{,}6 = 73{,}4$

Exemple 2

Calcule $3{,}5 + 2{,}4 \times 5$ : on commence par $2{,}4 \times 5 = 12$ , puis.

Méthode

D'abord $2{,}4 × 5 = 12$ , puis $3{,}5 + 12 = 15{,}5$ . On vérifie ensuite que le résultat $3{,}5 + 12 = 15{,}5$ est cohérent avec l’énoncé et les unités éventuelles.

Résultat

$3{,}5 + 12 = 15{,}5$

À retenir

Divisions

Non commencé

Définitions

Diviser un décimal, c'est partager une quantité en parts égales. On peut poser la division ou utiliser la relation : dividende = diviseur × quotient.

Quand le dividende n'est pas divisible exactement, le quotient est un décimal.

Pourquoi ça marche : une fraction $\frac{a}{b}$ désigne $a$ parts quand le tout est partagé en $b$ parts égales. Multiplier ou diviser haut et bas par le même nombre ne change pas la quantité représentée (fractions égales).

Formules

$a \div b = q \Leftrightarrow a = b \times q$
$85{,}5 \div 9 = 9{,}5$
$72{,}8 \div 7 = 10{,}4$

Exemples

Exemple 1

Calcule $85{,}5 \div 9 = 9{,}5$ .

Méthode

Étape 1 : repérer les données.

Étape 2 : Vérification : $9 × 9{,}5 = 85{,}5$ , donc $85{,}5 ÷ 9 = 9{,}5$ .

Étape 3 : conclure avec $85{,}5 \div 9 = 9{,}5$ .

Résultat

$85{,}5 \div 9 = 9{,}5$

Exemple 2

Calcule $72{,}8 \div 7 = 10{,}4$ .

Méthode

On lit l’énoncé : Calcule $72{,}8 \div 7 = 10{,}4$ . On mobilise la relation utile de la fiche (notamment $a \div b = q \Leftrightarrow a = b \times q$ ). On calcule soigneusement jusqu’à $72{,}8 \div 7 = 10{,}4$ , puis on vérifie l’ordre de grandeur.

Résultat

$72{,}8 \div 7 = 10{,}4$

À retenir

Puissances de 10

Non commencé

Définitions

Une puissance de $10$ est un produit de plusieurs facteurs $10$ . $10^n$ signifie $10$ multiplié par lui-même $n$ fois.

$10^{-n} = \frac{1}{10^n}$ . C'est très utile pour écrire les grands et petits nombres.

Formules

$10^n = \underbrace{10 \times \cdots \times 10}_{n \text{ fois}}$
$10^3 = 1000 \quad ; \quad 10^{-2} = 0{,}01$
$4500 = 45 \times 10^2$

Exemples

Exemple 1

Calcule $10^3 = 1000$ .

Méthode

On lit l’énoncé : Calcule $10^3 = 1000$ . On mobilise la relation utile de la fiche (notamment $10^n = \underbrace{10 \times \cdots \times 10}_{n \text{ fois}}$ ). On calcule soigneusement jusqu’à $10^3 = 1000$ , puis on vérifie l’ordre de grandeur.

Résultat

$10^3 = 1000$

Exemple 2

Écris $4500$ sous la forme $45 \times 10^n$ : ici.

Méthode

On lit l’énoncé : Écris $4500$ sous la forme $45 \times 10^n$ : ici. On mobilise la relation utile de la fiche (notamment $10^n = \underbrace{10 \times \cdots \times 10}_{n \text{ fois}}$ ). On calcule soigneusement jusqu’à $n = 2$ , puis on vérifie l’ordre de grandeur.

Résultat

$n = 2$